电磁场的基本方程组
磁悬浮技术的核心是用可控电磁场产生悬浮力、导向力和阻尼力。无论是电磁悬浮（EMS）还是电动悬浮（EDS），其宏观力都来自磁场与电流的相互作用。要定量分析这些现象，必须回到电磁场理论的基础——麦克斯韦方程组。它统一描述了电荷、电流、电场和磁场之间的时空关系，是磁悬浮建模、仿真与控制的出发点。
麦克斯韦方程组的微分形式
在连续媒质中，麦克斯韦方程组的微分形式可写为：
$$
\begin{aligned}
\nabla \cdot \mathbf{D} &= \rho \
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \
\nabla \times \mathbf{H} &= \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}
\end{aligned}
$$
其中：
- $\mathbf{D}$ 为电位移矢量，单位为 $\mathrm{C/m^2}$；
- $\mathbf{B}$ 为磁感应强度，单位为 $\mathrm{T}$；
- $\mathbf{E}$ 为电场强度，单位为 $\mathrm{V/m}$；
- $\mathbf{H}$ 为磁场强度，单位为 $\mathrm{A/m}$；
- $\rho$ 为自由电荷体密度；
- $\mathbf{J}$ 为自由电流体密度。
四个方程的物理含义分别是：高斯定律说明电荷产生电场；磁通连续性说明不存在磁单极子，磁力线闭合；法拉第电磁感应定律说明变化的磁场产生电场；安培-麦克斯韦定律说明电流和变化的电场产生磁场。
积分形式与物理意义
在工程分析中，积分形式更便于结合磁路和气隙结构使用：
$$
\oint_S \mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=Q_f,\qquad
\oint_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=0
$$
$$
\oint_C \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\frac{d\Phi_B}{dt},\qquad
\oint_C \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I_f+\frac{d\Phi_D}{dt}
$$
对磁悬浮而言，两个方程尤其重要：
- 磁通连续性：穿过任意闭合曲面的磁通为零，因此磁路中的磁通在分支处守恒。这为建立等效磁路模型提供了依据。
- 安培环路定律：磁场强度沿闭合路径的积分等于所包围的自由电流与位移电流之和。电磁铁、线圈和永磁体产生的磁场均可由此分析。
在低频磁悬浮系统中，位移电流 $\partial \mathbf{D}/\partial t$ 通常远小于传导电流，因此可忽略，得到准静态近似。
本构关系与媒质
麦克斯韦方程组还需配合本构关系才能求解。对于线性、各向同性媒质：
$$
\mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E},\qquad
\mathbf{B}=\mu \mathbf{H},\qquad
\mathbf{J}=\sigma \mathbf{E}
$$
其中 $\varepsilon$ 为介电常数，$\mu$ 为磁导率，$\sigma$ 为电导率。磁悬浮中常见材料包括：
- 空气或真空：$\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{H/m}$；
- 铁磁材料：相对磁导率 $\mu_r$ 可达数千，用于引导和增强磁通；
- 导体板：电导率 $\sigma$ 决定涡流大小，是电动悬浮的关键参数。
边界条件
在不同媒质交界面上，场量必须满足边界条件。设 $\mathbf{n}$ 由媒质1指向媒质2，则：
$$
\mathbf{n}\cdot(\mathbf{D}_2-\mathbf{D}_1)=\rho_s
$$
$$
\mathbf{n}\cdot(\mathbf{B}_2-\mathbf{B}_1)=0
$$
$$
\mathbf{n}\times(\mathbf{E}_2-\mathbf{E}_1)=0
$$
$$
\mathbf{n}\times(\mathbf{H}_2-\mathbf{H}_1)=\mathbf{J}_s
$$
在无表面自由电荷和表面电流时，$\mathbf{B}$ 的法向分量连续，$\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{H}$ 的切向分量连续。这些条件用于分析铁芯与气隙、导体板与空气等界面处的磁场分布。
准静态近似与磁悬浮
磁悬浮系统的典型频率较低，结构尺寸有限，因此常采用磁准静态近似：
$$
\nabla \cdot \mathbf{B}=0,\qquad
\nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{J},\qquad
\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}
$$
对于静态悬浮力计算，主要使用前两式；对于运动感应和涡流阻尼，则需要法拉第定律。EMS 依靠直流电磁铁产生吸引力，EDS 则依靠运动磁场在导体中感应涡流，进而产生排斥力和升力。
示例：单气隙电磁铁的悬浮力
考虑一个单气隙电磁铁，铁芯截面积为 $A$，线圈匝数为 $N$，电流为 $I$，气隙长度为 $g$。忽略铁芯磁阻和漏磁，由安培环路定律：
$$
\oint \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=NI
$$
气隙中磁场强度近似为：
$$
H_g=\frac{NI}{g}
$$
磁感应强度为：
$$
B_g=\mu_0 H_g=\frac{\mu_0 NI}{g}
$$
气隙中的磁能密度为 $w=B_g^2/(2\mu_0)$，因此吸引力为：
$$
F=wA=\frac{B_g^2A}{2\mu_0}
=\frac{\mu_0 N^2 I^2 A}{2g^2}
$$
该式表明，电磁悬浮力与电流平方成正比，与气隙平方成反比。实际系统中还需考虑铁芯饱和、漏磁、边缘效应和涡流，此时通常采用有限元法数值求解麦克斯韦方程组。
小结
麦克斯韦方程组是磁悬浮电磁分析的统一框架。微分形式揭示场量的局部关系，积分形式便于磁路计算，本构关系和边界条件使问题可解，准静态近似则简化了低频悬浮系统的建模。掌握这些基本方程后，才能进一步分析电磁力、涡流、磁路和控制系统，为磁悬浮装置的设计与优化提供理论基础。