应变圆（莫尔应变圆）的绘制与解读
在固体力学中，应变圆（亦称莫尔应变圆）是将平面应变状态可视化的强有力工具。通过在同一坐标系中绘制正应变与剪切应变的关系，能够直观地读取任意方向的正、横、剪切应变分量，从而为材料的变形分析、结构设计以及实验结果的校核提供便利。
平面应变状态
对于二维平面（(x)–(y)）内的应变，常用张量 (\boldsymbol{\varepsilon}) 表示
[
\boldsymbol{\varepsilon}=
\begin{bmatrix}
\varepsilon_{x} & \gamma_{xy}/2\[4pt]
\gamma_{xy}/2 & \varepsilon_{y}
\end{bmatrix}
]
其中 (\varepsilon_{x},\varepsilon_{y}) 为正应变，(\gamma_{xy}) 为工程剪切应变。应变分解
任意方向 (\theta)（相对于 (x) 轴）上的正应变 (\varepsilon_{n}) 与剪切应变 (\gamma_{n}) 可由下式得到
[
\begin{aligned}
\varepsilon_{n}&=\frac{\varepsilon_{x}+\varepsilon_{y}}{2}
+\frac{\varepsilon_{x}-\varepsilon_{y}}{2}\cos2\theta
+\frac{\gamma_{xy}}{2}\sin2\theta,\[4pt]
\gamma_{n}&=-(\varepsilon_{x}-\varepsilon_{y})\sin2\theta
+\gamma_{xy}\cos2\theta .
\end{aligned}
]莫尔圆的几何意义
将 (\varepsilon_{x}) 与 (\varepsilon_{y}) 作为横坐标，(\gamma_{xy}/2) 作为纵坐标绘制点 (A(\varepsilon_{x},\gamma_{xy}/2)) 与点 (B(\varepsilon_{y},-\gamma_{xy}/2))。这两点的连线的中点为圆心 (C)，半径为
[
R=\sqrt{\left(\frac{\varepsilon_{x}-\varepsilon_{y}}{2}\right)^{2}
+\left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^{2}} .
]
圆上任意点对应的坐标 ((\varepsilon_{n},\gamma_{n}/2)) 正好满足上述分解公式，故圆即为所有方向应变的轨迹。
2. 绘制莫尔应变圆的步骤
准备已知应变数据
- 正应变 (\varepsilon_{x},\varepsilon_{y})（单位可为 (\mu\varepsilon) 或无量纲）
- 工程剪切应变 (\gamma_{xy})
计算圆心坐标
[
\varepsilon_{c}= \frac{\varepsilon_{x}+\varepsilon_{y}}{2},\qquad
\gamma_{c}=0 .
]求半径
[
R=\sqrt{\left(\frac{\varepsilon_{x}-\varepsilon_{y}}{2}\right)^{2}
+\left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^{2}} .
]在 ((\varepsilon,\gamma/2)) 坐标系中作图
- 横轴：正应变 (\varepsilon)
- 纵轴：剪切应变的二分之一 (\gamma/2)
- 标记点 (A(\varepsilon_{x},\gamma_{xy}/2)) 与点 (B(\varepsilon_{y},-\gamma_{xy}/2))
- 以 (C(\varepsilon_{c},0)) 为圆心，半径 (R) 画圆。
读取任意方向的应变
- 取角度 (\theta)，在圆上作与横轴正向夹角为 (2\theta) 的射线。
- 该射线与圆的交点坐标即为 ((\varepsilon_{n},\gamma_{n}/2))。
- 正应变 (\varepsilon_{n}) 为横坐标，剪切应变 (\gamma_{n}=2\times)纵坐标。
3. 示例：已知应变状态的圆图绘制
已知材料在平面内的应变为
[
\varepsilon_{x}=1200\ \mu\varepsilon,\qquad
\varepsilon_{y}=400\ \mu\varepsilon,\qquad
\gamma_{xy}=800\ \mu\varepsilon .
]
圆心
[
\varepsilon_{c}= \frac{1200+400}{2}=800\ \mu\varepsilon .
]半径
[
R=\sqrt{\left(\frac{1200-400}{2}\right)^{2}
+\left(\frac{800}{2}\right)^{2}}
=\sqrt{(400)^{2}+ (400)^{2}}=566.0\ \mu\varepsilon .
]作图（略图）
- 点 (A(1200,400))（因为 (\gamma_{xy}/2=400)）
- 点 (B(400,-400))
- 圆心 (C(800,0))，半径 566。
读取 (\theta=30^{\circ}) 方向的应变
- 在圆上作与横轴正向夹角 (2\theta=60^{\circ}) 的射线。
- 交点坐标约为 ((\varepsilon_{n}=950,\ \gamma_{n}/2=260))。
- 因此 (\varepsilon_{n}=950\ \mu\varepsilon,\ \gamma_{n}=520\ \mu\varepsilon)。
此过程可通过 Excel、MATLAB 或 Python（Matplotlib）快速实现，便于批量处理实验数据。
4. 常见误区与注意事项
剪切应变的取值
在莫尔圆中使用的是 (\gamma/2) 作为纵坐标，若直接使用 (\gamma) 会导致圆半径错误两倍。角度对应关系
圆上射线的夹角为 (2\theta)，而非 (\theta)。忽略这一点会使读取的方向应变产生相位误差。平面应变假设
应变圆仅适用于平面应变或平面应力状态。若存在显著的 (z) 方向应变，需要采用三维应变椭圆或其他方法。符号约定
工程剪切应变 (\gamma_{xy}) 与张量剪切应变 (\varepsilon_{xy}) 的关系为 (\gamma_{xy}=2\varepsilon_{xy})。在公式推导和绘图时保持一致的符号体系。
5. 小结
莫尔应变圆通过几何方式把二维应变状态浓缩为一个圆形图形，使得：
- 任意方向的正、剪切应变可在同一图中快速读取；
- 正应变的极值（最大、最小）对应圆的最左、最右端点；
- 主应变方向（即正应变极值方向）与圆心连线垂直，便于辨识材料的主轴。
掌握圆的推导、绘制与解读步骤后，工程师能够在实验数据分析、有限元后处理以及结构安全评估中更加高效、准确地使用应变圆这一经典工具。