物质点与空间点的坐标变换

在固体力学的分析中，物质点（Material point）和空间点（Spatial point）是描述变形与运动的两类基本参考点。物质点随材料一起运动，记录的是材料的固有属性；空间点则固定在空间坐标系中，用来描述观察者所看到的位移场。对这两类点进行坐标变换，是建立拉格朗日描述与欧拉描述之间桥梁的关键，也是求解应力、应变以及动量守恒方程的前提。

本文系统阐述物质点与空间点的坐标变换原理，给出常用的数学工具（坐标变换矩阵、雅可比矩阵），并通过平移、旋转和一般线性变换的具体例子，演示在固体力学中的实际应用。

物质点与空间点的概念

注意：在实际计算中，常用的“坐标变换”指的就是 $ \boldsymbol{\chi} $ 与其逆映射 $ \boldsymbol{\chi}^{-1}$。

坐标系的选取

1. 笛卡尔坐标系

   • 最常用，基向量相互正交且长度为 1。
   • 记作 $ {e_1,e_2,e_3} $，对应坐标 $ (X_1,X_2,X_3) $ 或 $ (x_1,x_2,x_3) $。

2. 极坐标/柱坐标系

   • 适用于轴对称或圆形结构。
   • 需要引入度量张量 $ g_{ij} $ 来处理非正交基。

3. 移动坐标系

   • 当分析随时间平移或旋转的结构时，可在 随体坐标系（material frame）或 惯性坐标系（inertial frame）之间切换。

在固体力学的多数教材中，默认使用笛卡尔坐标系进行推导，后续若需转换到其他坐标系，只需在变换矩阵中加入相应的度量因子。

坐标变换的基本公式

设物质点在参考时刻 $ t_0 $ 的坐标为 $ \mathbf{X} $，在任意时刻 $ t $ 的空间坐标为 $ \mathbf{x} $，则 位移向量定义为

[
\mathbf{u}(\mathbf{X},t)=\mathbf{x}(\mathbf{X},t)-\mathbf{X}.
]

对应的 变形梯度张量（Deformation Gradient）为

[
\mathbf{F}(\mathbf{X},t)=\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{X}}
= \mathbf{I}+\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{X}},
]

其中 $ \mathbf{I} $ 为单位张量。

若已知空间点的坐标 $ \mathbf{x} $，想求对应的物质点坐标 $ \mathbf{X} $，则需要 逆变形梯度

[
\mathbf{F}^{-1}=\frac{\partial \mathbf{X}}{\partial \mathbf{x}}.
]

线性变换矩阵

在多数工程问题中，坐标变换可以近似为线性映射：

[
\mathbf{x}= \mathbf{A},\mathbf{X}+\mathbf{b},
]

• $ \mathbf{A}\in\mathbb{R}^{3\times3} $ 为线性变换矩阵，描述旋转、拉伸、剪切等几何操作。
• $ \mathbf{b}\in\mathbb{R}^{3} $ 为平移向量，描述整体平移。

对应的雅可比矩阵即为 $ \mathbf{A} $，其行列式 $ J=\det\mathbf{A} $ 表示体积的伸缩比例，满足

[
\mathrm{d}V = J,\mathrm{d}V_0.
]

特殊情形

• 纯平移：$ \mathbf{A}= \mathbf{I} $，$ \mathbf{b}\neq\mathbf{0} $。
• 纯旋转：$ \mathbf{A}= \mathbf{R} $（正交矩阵），$ \det\mathbf{R}=1 $，$ \mathbf{b}= \mathbf{0} $。
• 均匀拉伸：$ \mathbf{A}= \lambda \mathbf{I} $，$ J=\lambda^{3} $。

示例

1. 平移

已知平移向量 $ \mathbf{b}=(0.02,,0.00,,0.00) ,\text{m}$，则

[
\mathbf{x}= \mathbf{I},\mathbf{X}+ \mathbf{b}
\quad\Longrightarrow\quad
\begin{cases}
x_1 = X_1 + 0.02\
x_2 = X_2\
x_3 = X_3
\end{cases}
]

对应的位移场 $ \mathbf{u}(\mathbf{X})=\mathbf{b} $，变形梯度 $ \mathbf{F}= \mathbf{I} $，体积不变（$J=1$）。

2. 绕 $z$ 轴旋转 $ \theta =30^{\circ}$

旋转矩阵

[
\mathbf{R}_z(\theta)=
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0\
\sin\theta & \ \cos\theta & 0\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}.
]

取 $ \theta =\pi/6 $，则

[
\mathbf{x}= \mathbf{R}_z(\pi/6),\mathbf{X}.
]

若 $ \mathbf{X}=(1,0,0)^{\mathrm{T}} $，则

[
\mathbf{x}= \bigl(\cos\frac{\pi}{6},\ \sin\frac{\pi}{6},\ 0\bigr)^{\mathrm{T}}
= (0.866,,0.5,,0)^{\mathrm{T}}\ \text{m}.
]

此时 $ \mathbf{F}= \mathbf{R}_z $，$ J=\det\mathbf{R}_z=1 $，说明纯旋转不改变体积。

3. 一般线性变形（剪切 + 拉伸）

设

[
\mathbf{A}=
\begin{bmatrix}
1.2 & 0.3 & 0\
0 & 1.0 & 0\
0 & 0 & 0.8
\end{bmatrix},
\qquad \mathbf{b}= \mathbf{0}.
]

则

[
\mathbf{x}= \mathbf{A},\mathbf{X},
\quad
\mathbf{F}= \mathbf{A},
\quad
J=\det\mathbf{A}=1.2\times1.0\times0.8=0.96.
]

体积收缩 4%。若取 $ \mathbf{X}=(1,1,1)^{\mathrm{T}} $，则

[
\mathbf{x}= (1.5,,1.0,,0.8)^{\mathrm{T}}.
]

在固体力学中的应用

1. 应变张量的计算

   • 绿应变（Lagrangian strain）
     [
     \mathbf{E}= \frac{1}{2}\bigl(\mathbf{F}^{\mathrm{T}}\mathbf{F}-\mathbf{I}\bigr).
     ]
   • 欧拉应变（Eulerian strain）
     [
     \mathbf{e}= \frac{1}{2}\bigl(\mathbf{I}-\mathbf{F}^{-{\mathrm{T}}}\mathbf{F}^{-1}\bigr).
     ]
     通过坐标变换矩阵 $\mathbf{F}$，即可在任意参考系下得到相同的物理应变。

2. 动量守恒方程的拉格朗日形式
   [
   \rho_0 \frac{\partial^2 \mathbf{u}}{\partial t^2}= \nabla_{! \mathbf{X}}!\cdot\mathbf{P}+ \rho_0 \mathbf{b},
   ]
   其中第一 Piola–Kirchhoff 应力 $\mathbf{P}= \mathbf{F},\boldsymbol{\sigma}$，$\boldsymbol{\sigma}$ 为 Cauchy 应力。坐标变换提供了 $\mathbf{F}$ 与 $\boldsymbol{\sigma}$ 的桥接。

3. 有限元实现

   • 在单元内部，常用 自然坐标 $(\xi,\eta,\zeta)$ 与 全局坐标 $(x,y,z)$ 的映射
     [
     \mathbf{x}= \sum_{i=1}^{n} N_i(\xi,\eta,\zeta),\mathbf{x}_i,
     ]
     这里 $N_i$ 为形函数，$\mathbf{x}_i$ 为节点坐标。该映射本质上是一个非线性坐标变换，求解时需计算雅可比矩阵 $ \mathbf{J}= \partial\mathbf{x}/\partial\boldsymbol{\xi}$。

4. 大变形分析
   当变形不再满足小应变假设时，必须使用完整的 $\mathbf{F}$ 而非线性化的 $ \mathbf{I}+\nabla\mathbf{u}$。此时坐标变换的精确性直接决定数值解的可靠性。

小结

• 物质点 与 空间点 分别对应拉格朗日坐标 $ \mathbf{X}$ 与欧拉坐标 $ \mathbf{x}$，二者通过映射 $ \boldsymbol{\chi}$ 相互转换。
• 坐标变换的核心是 变形梯度张量 $ \mathbf{F}= \partial\mathbf{x}/\partial\mathbf{X}$，其行列式 $J$ 反映体积变化。
• 在实际工程中，常用 线性变换矩阵（平移、旋转、剪切、拉伸）来近似描述局部变形，配合雅可比矩阵完成数值实现。
• 坐标变换是 应变、应力、动量守恒方程 的统一语言，也是有限元、谱方法等数值技术的基础。

掌握物质点与空间点的坐标变换，不仅能够在理论上建立拉格朗日与欧拉描述的等价关系，还能在数值模拟中实现高效、准确的几何映射，为复杂固体力学问题的求解奠定坚实的数学基础。