折射定律（斯涅尔定律）详解

当光从一种透明介质斜射入另一种透明介质时，传播方向通常会发生改变，这种现象称为折射。例如，将筷子斜插入水中，看起来像在水面处“折断”，就是折射造成的视觉效应。为了定量描述折射，需要引入以下术语：

入射光线：到达界面的光线。
折射光线：进入第二介质后的光线。
法线：过入射点且垂直于界面的直线。
入射角 $\theta_1$：入射光线与法线的夹角。
折射角 $\theta_2$：折射光线与法线的夹角。

注意：角度均从法线量起，而不是从界面量起。若光垂直入射，入射角为 $0^\circ$，折射角也为 $0^\circ$，传播方向不变，但速度与波长仍会改变。

斯涅尔定律的数学表述

斯涅尔定律指出，对于两种各向同性介质之间的平整界面，入射角与折射角满足：

$$
n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2
$$

其中 $n_1$、$n_2$ 分别为第一种和第二种介质的绝对折射率。绝对折射率定义为：

$$
n = \frac{c}{v}
$$

$c$ 为真空中的光速，$v$ 为光在该介质中的相速度。真空的折射率规定为 $1$，空气在通常精度下可近似为 $1.00$。水的折射率约为 $1.33$，普通玻璃约为 $1.5$，钻石约为 $2.42$。

由公式可得：

$$
\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{n_2}{n_1} = n_{21}
$$

$n_{21}$ 称为介质 2 相对于介质 1 的相对折射率。若 $n_2 > n_1$，光从光疏介质进入光密介质，折射角小于入射角，折射光线靠近法线；若 $n_2 < n_1$，光从光密介质进入光疏介质，折射角大于入射角，折射光线远离法线。

物理意义与费马原理

斯涅尔定律不仅是一个实验规律，也可以从更基本的原理导出。费马原理指出，光在两点之间传播时，所走路径的光程取极值。光程定义为折射率与几何路程的乘积：

$$
L = n s
$$

在界面处，光程取极值的条件正好给出 $n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$。此外，从波动光学看，折射定律对应波前在界面上的相位匹配条件；从电磁理论看，它可由麦克斯韦方程组结合边界条件得到。

光进入不同介质时，频率保持不变，但速度和波长改变：

$$
v = \frac{c}{n}, \quad \lambda = \frac{\lambda_0}{n}
$$

其中 $\lambda_0$ 为真空中的波长。因此，折射率越大，光在介质中传播越慢，波长越短。

典型计算示例

示例 1：空气到水

设光从空气斜射入水中，$n_1 = 1.00$，$n_2 = 1.33$，入射角 $\theta_1 = 30^\circ$。求折射角。

由斯涅尔定律：

$$
\sin\theta_2 = \frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1
= \frac{1.00}{1.33}\times 0.5
\approx 0.376
$$

因此：

$$
\theta_2 = \arcsin(0.376) \approx 22.1^\circ
$$

可见，光从空气进入水后靠近法线。

示例 2：水到空气

若光从水射向空气，$n_1 = 1.33$，$n_2 = 1.00$，$\theta_1 = 30^\circ$，则：

$$
\sin\theta_2 = \frac{1.33}{1.00}\times 0.5 = 0.665
$$

$$
\theta_2 \approx 41.7^\circ
$$

此时折射角大于入射角，光线远离法线。

全反射与临界角

当光从光密介质射向光疏介质，即 $n_1 > n_2$ 时，若入射角增大到某一临界值，折射角会达到 $90^\circ$。继续增大入射角，折射光消失，光全部返回原介质，这种现象称为全反射。临界角 $\theta_c$ 满足：

$$
n_1 \sin\theta_c = n_2 \sin 90^\circ = n_2
$$

因此：

$$
\theta_c = \arcsin\left(\frac{n_2}{n_1}\right)
$$

例如，水到空气的临界角为：

$$
\theta_c = \arcsin\left(\frac{1.00}{1.33}\right) \approx 48.8^\circ
$$

全反射是光纤通信、内窥镜和全反射棱镜的重要基础。光纤利用纤芯与包层的折射率差，使光在纤芯内反复全反射而低损耗传输。

色散与折射率依赖

实际介质的折射率并非常数，而是随光波长变化，这种现象称为色散。通常，短波长如紫光的折射率略大于长波长如红光，因此不同颜色的光在同一界面上的折射角不同。棱镜将白光分解为彩色光谱，彩虹的形成，都与色散有关。

在涉及宽光谱时，斯涅尔定律对每一波长分别成立。若需要精确设计光学系统，必须考虑材料色散，例如使用阿贝数或色散曲线描述折射率随波长的变化。

应用与注意事项

斯涅尔定律广泛应用于：

透镜与光学系统设计：确定光线在镜片表面的偏折。
眼镜、相机、显微镜：校正像差与选择材料。
光纤与波导：利用全反射约束光传播。
水文与遥感：分析水中目标视深和折射成像。
大气折射：解释海市蜃楼、日出提前等现象。

使用斯涅尔定律时应注意：

角度必须从法线量起。
公式默认界面平整、介质各向同性且线性。
若介质存在吸收、各向异性或非线性效应，需要采用更复杂的模型。
全反射只发生在光从光密介质射向光疏介质时。

掌握斯涅尔定律，是理解几何光学、波动光学和众多光电应用的基础。