量子力学对能量动量守恒的扩展
在经典电磁理论中，坡印廷定理与麦克斯韦应力张量共同保证了电磁场能量与动量的守恒。进入量子领域后，这些守恒律并未被抛弃，而是被推广为以算符、对易关系和期望值为核心的新表述。本文梳理量子力学如何继承并扩展能量动量守恒。
经典力学中，诺特定理指出：每一个连续对称性对应一个守恒量。时间平移不变性给出能量守恒，空间平移不变性给出动量守恒。量子力学完整保留了这一深刻联系，但守恒量的载体从数值变为厄米算符：
- 系统状态由希尔伯特空间中的态矢 $|\psi(t)\rangle$ 描述；
- 可观测量（能量、动量等）由厄米算符 $\hat{H}$、$\hat{\mathbf{p}}$ 表示；
- “守恒”意味着相应算符（或其期望值）不随时间演化。
由斯通定理，连续对称性的幺正生成元正是守恒量，这与诺特定理形成完美的量子对应。
能量与动量的算符化
量子力学通过普朗克—爱因斯坦关系 $E=\hbar\omega$ 与德布罗意关系 $\mathbf{p}=\hbar\mathbf{k}$，把波动量与粒子量统一起来。相应地：
- 能量算符为 $\hat{E}=i\hbar,\partial/\partial t$，通过本征方程 $\hat{H}|\psi\rangle=E|\psi\rangle$ 与哈密顿算符相联系；
- 动量算符为 $\hat{\mathbf{p}}=-i\hbar\nabla$，平面波 $\exp(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r})$ 是其本征态，本征值为 $\hbar\mathbf{k}$。
这表明量子系统仍具有确定的能量与动量取值（本征值），只是单次测量的结果具有概率性。
守恒条件的量子表述：对易关系
海森伯运动方程给出任意力学量 $\hat{A}$ 期望值的演化规律：
$$\frac{d}{dt}\langle \hat{A} \rangle = \frac{i}{\hbar}\langle[\hat{H},\hat{A}]\rangle + \left\langle\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\right\rangle$$
由此得到量子守恒律的判据：
- 若 $\hat{A}$ 不显含时间且 $[\hat{H},\hat{A}]=0$，则 $\langle\hat{A}\rangle$ 守恒；
- 能量守恒对应哈密顿量不显含时间，即时间平移对称性；
- 动量守恒对应 $[\hat{H},\hat{\mathbf{p}}]=0$，即空间平移对称性。
示例：自由粒子的 $\hat{H}=\hat{\mathbf{p}}^2/2m$ 与 $\hat{\mathbf{p}}$ 对易，动量守恒。而带电粒子在电磁场中，采用最小耦合 $\hat{H}=\frac{1}{2m}(\hat{\mathbf{p}}-q\mathbf{A})^2+q\varphi$，机械动量 $m\hat{\mathbf{v}}=\hat{\mathbf{p}}-q\mathbf{A}$ 一般不再守恒——粒子把动量交给了场。只有将场的动量 $\int \varepsilon_0,\mathbf{E}\times\mathbf{B},dV$ 一并计入，总动量才守恒，这正是经典电磁动量守恒的量子对应。
埃伦费斯特定理：期望值层面的经典对应
埃伦费斯特定理表明，力学量期望值满足类经典方程：
$$\frac{d\langle\mathbf{r}\rangle}{dt}=\frac{\langle\mathbf{p}\rangle}{m},\qquad \frac{d\langle\mathbf{p}\rangle}{dt}=-\langle\nabla V\rangle$$
因此，能量动量守恒在量子力学中首先在期望值意义上成立；当波包足够窄时，期望值轨迹与经典轨道一致，守恒律平滑过渡到经典极限。
光子：能量动量守恒的量子例证
电磁场量子化后，其能量与动量以光子形式呈现：每个光子携带能量 $\hbar\omega$ 与动量 $\hbar\mathbf{k}=(\hbar\omega/c),\hat{\mathbf{n}}$。康普顿散射是对该图像最直接的验证：
$$\Delta\lambda = \frac{h}{m_e c}(1-\cos\theta)$$
此公式完全由相对论性的能量守恒