辐射传输方程简介

辐射传输方程描述辐射在介质中传播时，因吸收、发射和散射引起的强度变化。在等离子体物理中，等离子体是参与性介质，辐射与电子、离子、原子和分子相互作用，因此不能简单视为透明或黑体。核心物理量是比强度 (I_\nu(\mathbf{r},\mathbf{n},t))，表示在位置 (\mathbf{r})、方向 (\mathbf{n})、频率 (\nu)、时间 (t) 处单位面积、单位立体角、单位频率间隔内的辐射功率，单位为 (\mathrm{W,m^{-2},sr^{-1},Hz^{-1}})。沿射线路径 (s) 考察其变化，即可得到辐射传输方程。

辐射传输方程的微分形式

若不考虑散射，辐射传输方程可写为

[
\frac{dI_\nu}{ds}=j_\nu-\kappa_\nu I_\nu
]

其中：

• (j_\nu) 为发射系数，单位为 (\mathrm{W,m^{-3},sr^{-1},Hz^{-1}})，表示单位体积、单位立体角、单位频率间隔内新产生的辐射；
• (\kappa_\nu) 为吸收系数，单位为 (\mathrm{m^{-1}})，表示单位长度上辐射被吸收的概率。

第一项使强度增加，第二项使强度衰减。若考虑散射，可将散射从吸收中分离，写成

[
\frac{dI_\nu}{ds}=j_\nu-\kappa_\nu I_\nu
+\int \kappa_\nu^{\rm sc}(\mathbf{n}'\rightarrow\mathbf{n})I_\nu(\mathbf{n}'),d\Omega'
-\kappa_\nu^{\rm sc}I_\nu
]

其中散射项表示从其他方向散射进入该方向的贡献，以及从该方向散射出去的损失。在多数高温等离子体中，汤姆孙散射可能较弱，而轫致辐射、回旋辐射和谱线过程常以发射与吸收项描述。

光学厚度与源函数

为简化方程，定义光学厚度

[
d\tau_\nu=\kappa_\nu ds,\qquad
\tau_\nu(s)=\int_0^s \kappa_\nu(s'),ds'
]

以及源函数

[
S_\nu=\frac{j_\nu}{\kappa_\nu}
]

于是辐射传输方程变为

[
\frac{dI_\nu}{d\tau_\nu}=S_\nu-I_\nu
]

这是最简洁的形式。光学厚度 (\tau_\nu) 是无量纲量，表示介质对辐射的不透明度。若 (\tau_\nu\ll 1)，称为光学薄；若 (\tau_\nu\gg 1)，称为光学厚。源函数 (S_\nu) 与比强度同量纲，代表介质局部发射与吸收竞争后的特征辐射强度。

形式解与极限情形

沿射线从 (\tau_\nu=0) 积分到 (\tau_\nu)，可得形式解

[
I_\nu(\tau_\nu)
=I_\nu(0)e^{-\tau_\nu}
+\int_0^{\tau_\nu}S_\nu(\tau')e^{-(\tau_\nu-\tau')},d\tau'
]

其物理意义是：出射强度由入射强度经介质衰减后的剩余部分，加上路径上各点源函数经其后吸收衰减后的贡献。若源函数沿路径均匀，即 (S_\nu) 为常数，则

[
I_\nu=I_\nu(0)e^{-\tau_\nu}
+S_\nu\left(1-e^{-\tau_\nu}\right)
]

两个重要极限为：

• 光学薄 (\tau_\nu\ll 1)：若入射为零，则 (I_\nu\approx j_\nu L)，辐射强度直接反映发射系数与路径长度；
• 光学厚 (\tau_\nu\gg 1)：(I_\nu\approx S_\nu)，辐射由源函数决定，与入射辐射无关。

局部热动平衡与 Kirchhoff 定律

在局部热动平衡下，等离子体可用局部温度 (T) 描述，能级布居满足 Boltzmann 分布，吸收与发射满足 Kirchhoff 定律：

[
j_\nu=\kappa_\nu B_\nu(T)
]

因此源函数为

[
S_\nu=B_\nu(T)
]

其中 (B_\nu(T)) 为 Planck 函数：

[
B_\nu(T)=\frac{2h\nu^3}{c^2}
\frac{1}{e^{h\nu/kT}-1}
]

此时辐射传输方程只需知道吸收系数 (\kappa_\nu) 和温度 (T)。光学厚时 (I_\nu\approx B_\nu(T))，可用于高温等离子体温度诊断。非局部热动平衡时，源函数由能级布居和辐射场共同决定，需要联立统计平衡方程求解。

等离子体中的应用与示例

等离子体中的辐射过程包括轫致辐射、回旋辐射、同步辐射、复合辐射和谱线辐射等。吸收过程则包括逆轫致吸收、回旋吸收和谱线吸收等。

考虑一个均匀等温等离子体平板，厚度为 (L)，吸收系数为 (\kappa_\nu)，发射系数满足 (j_\nu=\kappa_\nu B_\nu(T))，入射强度 (I_\nu(0)=0)。光学厚度为 (\tau_\nu=\kappa_\nu L)，出射强度为

[
I_\nu=B_\nu(T)\left(1-e^{-\tau_\nu}\right)
]

若 (\tau_\nu\ll 1)，则

[
I_\nu\approx \kappa_\nu L B_\nu(T)=j_\nu L
]

说明光学薄时线强或连续谱强度正比于发射率和等离子体厚度。若 (\tau_\nu\gg 1)，则 (I_\nu\approx B_\nu(T))，达到黑体极限。该结论常用于分析谱线自吸收和等离子体辐射诊断。

数值建模要点

在等离子体建模中，辐射传输常与流体、磁流体和能级布居方程耦合。常用数值方法包括：

• 射线追踪法：沿离散方向积分形式解；
• 离散坐标法：对角度方向离散，求解偏微分方程；
• 短特征线法：适合结构化网格中的辐射输运；
• Monte Carlo 方法：处理复杂几何和散射过程；
• 多群方法：将频率分组，降低计算量。

由于辐射与物质能量交换可能具有刚性，时间推进常采用隐式或半隐式格式。边界条件可由外部辐射场、真空或反射壁给出。

掌握比强度、发射系数、吸收系数、光学厚度、源函数和形式解，是