内燃机中的燃烧过程简化模型

在内燃机的热力学研究与系统效率优化过程中，准确描述燃烧过程是进行热力循环分析的核心。然而，真实的燃烧过程是一个极其复杂的物理化学现象，涉及化学动力学、湍流混合、热传递以及多相流等多个尺度。对于系统级的热力循环分析而言，直接使用高精度的计算流

在内燃机的热力学研究与系统效率优化过程中，准确描述燃烧过程是进行热力循环分析的核心。然而，真实的燃烧过程是一个极其复杂的物理化学现象，涉及化学动力学、湍流混合、热传递以及多相流等多个尺度。对于系统级的热力循环分析而言，直接使用高精度的计算流体力学（CFD）模型计算成本过高，难以满足快速迭代的需求。

因此，研究者通常采用简化燃烧模型。这些模型通过将复杂的燃烧过程抽象为数学函数，重点关注能量释放的时间特性，从而在保证计算效率的同时，能够较好地模拟压力-容积（P-V）图的变化。
在简化模型中，最常见的假设是采用零维（0D）模型。在这种假设下，我们认为气缸内的混合气是均匀的，即在任意时刻，气缸内的温度、压力和燃烧产物浓度在空间上都是一致的。

虽然这种假设忽略了燃烧火焰的传播过程和局部浓度梯度，但在进行整体热力循环分析（如计算指示功、热效率等）时，它提供了一个足够精确的宏观视角。简化模型的核心任务，就是确定**质量燃烧率（Mass Burning Rate）或燃烧放热率（Heat Release Rate, HRR）**随曲轴转角（$\theta$）的变化规律。

Wiebe 函数：最经典的燃烧模型

在内燃机工程领域，Wiebe 函数是描述燃烧过程最广泛使用的经验模型。它通过引入一个随曲轴转角变化的“燃烧分数”（Burn Fraction, $x_b$）来表示燃料燃烧的程度。

1. 数学表达式

Wiebe 函数的标准形式如下：

$$x_b(\theta) = 1 - \exp\left[ -a \left( \frac{\theta - \theta_{start}}{\theta_{end} - \theta_{start}} \right)^{m+1} \right]$$

其中，各参数的物理意义如下：

  • $\theta$：当前的曲轴转角。
  • $\theta_{start}$：燃烧开始时刻（Start of Combustion, SOC）。
  • $\theta_{end}$：燃烧结束时刻（End of Combustion, EOC）。
  • $a$：形状因子（Shape factor），通常取值在 5 到 7 之间，用于控制燃烧曲线的平滑度。
  • $m$：指数参数，反映了燃烧速率的变化特征。$m$ 值越大，燃烧过程越集中，放热曲线越陡峭。

2. 燃烧分数的物理意义

  • 当 $\theta = \theta_{start}$ 时，$x_b = 0$，表示燃烧尚未开始。
  • 当 $\theta = \theta_{end}$ 时，$x_b = 1$，表示燃料已完全燃烧。
  • $x_b$ 的导数 $\frac{dx_b}{d\theta}$ 则代表了单位转角内的燃烧速率。

燃烧模型的核心参数及其影响

为了使简化模型能够准确反映不同工况（如汽油机的点火燃烧与柴油机的压燃）下的特性，必须准确设定以下关键参数：

  • 燃烧相位（Combustion Phasing）：即 $\theta_{start}$ 和 $\theta_{end}$ 的位置。在汽油机中，这通常与点火提前角密切相关；在柴油机中，则受喷油时刻和喷油持续时间的影响。
  • 燃烧持续时间（Burn Duration）：$\Delta\theta = \theta_{end} - \theta_{start}$。较短的持续时间意味着高放热强度，会导致气缸内压力迅速升高，虽然有利于做功，但会增加机械负荷和爆震风险。
  • 放热速率形状：通过调整 $m$ 值，可以模拟不同类型的燃烧。例如，预混燃烧通常具有较高的 $m$ 值，表现为极快的放热过程；而扩散燃烧（如柴油机）的放热过程则相对平缓。

在热力循环分析中的应用步骤

利用简化燃烧模型进行热力循环分析，通常遵循以下逻辑流程：

  1. 确定几何参数：根据气缸行程、缸径计算活塞运动产生的容积变化 $V(\theta)$。
  2. 计算燃烧分数：利用 Wiebe 函数计算给定转角 $\theta$ 下的 $x_b(\theta)$。
  3. 计算放热量：根据燃烧分数计算释放的热量 $Q(\theta)$：
    $$Q(\theta) = m_{fuel} \cdot LHV \cdot x_b(\theta)$$
    其中，$m_{fuel}$ 是喷入的燃料质量，$LHV$ 是燃料的低位发热量。
  4. 求解压力变化：结合理想气体状态方程（$PV=mRT$）和能量守恒定律（第一定律），通过数值积分方法求解气缸内的压力 $P(\theta)$。
  5. 计算指示功：通过对 P-V 图进行积分得到：
    $$W_{ind} = \int P , dV$$

示例计算

假设我们正在分析一个小型单缸发动机，已知以下参数：

  • 燃料低位发热量 $LHV = 44,000 \text{ kJ/kg}$
  • 喷入燃料质量 $m_{fuel} = 0.0005 \text{ kg}$
  • 燃烧开始时刻 $\theta_{start} = 350^\circ$
  • 燃烧结束时刻 $\theta_{end} = 380^\circ$
  • 形状因子 $a = 5$，指数 $m = 5$

问题：计算在曲轴转角 $\theta = 365^\circ$ 时，燃烧完成的百分比以及释放的热量。

解题步骤：

  1. 计算燃烧分数 $x_b$：
    $$\frac{\theta - \theta_{start}}{\theta_{end} - \theta_{start}} = \frac{365 - 350}{380 - 350} = \frac{15}{30} = 0.5$$
    代入 Wiebe 公式：
    $$x_b(365^\circ) = 1 - \exp\left[ -5 \cdot (0.5)^{5+1} \right]$$
    $$x_b(365^\circ) = 1 - \exp\left[ -5 \cdot 0.015625 \right] = 1 - \exp(-0.078125)$$
    $$x_b(365^\circ) \approx 1 - 0.9248 = 0.0752 \text{ (即 } 7.52% \text{)}$$

  2. 计算释放的热量 $Q$：
    $$Q = 0.0005 \text{ kg} \times 44,000 \text{ kJ/kg} \times 0.0752$$
    $$Q = 22 \text{ kJ} \times 0.0752 = 1.6544 \text{ kJ}$$

通过该示例可以看出，在燃烧过程的中点（转角跨度的一半处），由于指数项的作用，燃烧分数尚未达到 50%，这符合实际燃烧初期速率较慢的物理特性。

总结

内燃机燃烧过程的简化模型是连接微观化学反应与宏观热力循环的桥梁。Wiebe 函数等模型通过精炼的数学表达，捕捉了燃烧能量释放的核心特征。虽然简化模型无法预测局部燃烧不稳定性或污染物排放的精确分布，但在进行发动机性能预测、热效率优化以及控制策略开发时，它们依然是不可或缺的强大工具。