电磁场能量动量张量的张量形式

在电磁学的经典理论中，能量与动量的守恒可以统一地用 电磁能量动量张量（亦称 能动张量）来描述。该张量不仅揭示了电磁场在时空中的分布特性，还为后续的相对论电动力学奠定了数学基础。本文系统阐述电磁场能量动量张量的张量形式，重点包括其定义、推导过程、与守恒律的联系以及典型应用示例。
在四维时空坐标 (x^{\mu}=(ct,\mathbf{x}))（(\mu=0,1,2,3)）下，电磁场张量记为

[
F^{\mu\nu}= \partial^{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}A^{\mu},
]

其中 (A^{\mu}=(\phi/c,\mathbf{A})) 为四势。电磁场的 能量动量张量（对称形式）定义为

[
T^{\mu\nu}= \frac{1}{\mu_{0}}!\left(F^{\mu\alpha}F^{\nu}{}{\alpha}-\frac{1}{4}\eta^{\mu\nu}F^{\alpha\beta}F{\alpha\beta}\right),
]

• (\eta^{\mu\nu}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)) 为闵可夫斯基度规。
• (\mu_{0}) 为真空磁导率。

该张量的分量对应于熟悉的三维量：

2. 张量形式的推导

2.1 拉格朗日密度与诺特定理

电磁场的拉格朗日密度

[
\mathcal{L}= -\frac{1}{4\mu_{0}}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}
]

在时空平移不变的前提下，依据诺特定理可得到守恒流

[
\partial_{\mu}T^{\mu\nu}=0,
]

其中

[
T^{\mu\nu}= \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}A_{\alpha})}\partial^{\nu}A_{\alpha}-\eta^{\mu\nu}\mathcal{L}.
]

代入 (\displaystyle \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}A_{\alpha})}= -\frac{1}{\mu_{0}}F^{\mu\alpha})，并对称化后即得到上式的对称张量。

2.2 对称化过程

原始的诺特张量一般不具对称性，为满足角动量守恒，需要进行 Belinfante‑Rosenfeld 对称化：

[
\Theta^{\mu\nu}=T^{\mu\nu}+\partial_{\lambda}X^{\lambda\mu\nu},
]

其中

[
X^{\lambda\mu\nu}= \frac{1}{\mu_{0}}\bigl(F^{\mu\lambda}A^{\nu}-F^{\nu\lambda}A^{\mu}\bigr)
]

的散度在真空中为零，故 (\Theta^{\mu\nu}=T^{\mu\nu}) 已经是对称的。

3. 与守恒律的关系

能量动量张量的零散度为零直接给出四维守恒方程：

[
\partial_{\mu}T^{\mu\nu}=0 \quad (\nu=0,1,2,3).
]

展开后得到熟悉的三维守恒形式：

• 能量守恒（(\nu=0)）

  [
  \frac{\partial u}{\partial t}+ \nabla!\cdot!\mathbf{S}= -\mathbf{J}!\cdot!\mathbf{E},
  ]

  右端为电流对场的功率密度，若无自由电流则为零。

• 动量守恒（(\nu=i)）

  [
  \frac{\partial g_{i}}{\partial t}+ \partial_{j}T^{ij}= \rho E_{i}+(\mathbf{J}\times\mathbf{B})_{i},
  ]

  其中 (\mathbf{g}= \mathbf{S}/c^{2}) 为电磁动量密度，右端为洛伦兹力密度。

4. 示例：平面电磁波

考虑在真空中传播的线性极化平面波，电场与磁场满足

[
\mathbf{E}=E_{0}\cos(kz-\omega t),\hat{\mathbf{x}},\qquad
\mathbf{B}= \frac{E_{0}}{c}\cos(kz-\omega t),\hat{\mathbf{y}}.
]

计算得到：

• 能量密度

  [
  u=\varepsilon_{0}E_{0}^{2}\cos^{2}(kz-\omega t).
  ]

• 坡印廷矢量

  [
  \mathbf{S}= \frac{E_{0}^{2}}{\mu_{0}c}\cos^{2}(kz-\omega t),\hat{\mathbf{z}}.
  ]

• 应力张量

  [
  T^{zz}=u,\qquad T^{xx}=T^{yy}= -\frac{1}{2}u,
  ]

  说明波在传播方向上产生辐射压，而垂直方向上表现为张力。

将这些分量代入 (T^{\mu\nu}) 的矩阵形式，可得

[
T^{\mu\nu}=u
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1\
0 & -\tfrac12 & 0 & 0\
0 & 0 & -\tfrac12 & 0\
1 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix},
]

该矩阵显式满足 (\partial_{\mu}T^{\mu\nu}=0)，验证了守恒律。

5. 小结

• 电磁场的能量动量张量提供了 四维统一 的能量、动量与应力描述。
• 其张量形式来源于拉格朗日密度的诺特守恒，经过 Belinfante‑Rosenfeld 对称化后得到对称张量。
• 零散度条件 (\partial_{\mu}T^{\mu\nu}=0) 与经典的 能量守恒 与 动量守恒 方程等价。
• 通过平面波的具体计算，可直观感受到张量分量的物理意义：能量密度、坡印廷矢量以及辐射压/张力。

掌握电磁能量动量张量的张量形式，不仅有助于深入理解经典电磁场的守恒结构，也为后续学习 相对论电动力学 与 量子场论 中的能动张量概念奠定坚实基础。