从经典张量到量子算符的过渡

在电磁场理论中，能量与动量的局域分布由能量-动量张量 (T^{\mu\nu}) 描述。当理论从经典场论过渡到量子场论时，核心任务是把经典场量替换为算符，并重新解释 (T^{\mu\nu}) 的分量：能量密度、动量密度和应力张量分别对应量子场的哈密顿量、动量算符和应力算符。以下采用自然单位 (\hbar=c=1)，必要时再恢复常数。
自由电磁场的拉格朗日密度为

[
\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},
\qquad
F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu .
]

对应的对称能量-动量张量为

[
T^{\mu\nu}=-F^{\mu\lambda}F^\nu_{\ \lambda}
+\frac{1}{4}\eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}.
]

其分量具有明确物理意义：

• (T^{00})：能量密度，等于 (\frac{1}{2}(E^2+B^2))；
• (T^{0i})：动量密度，与坡印廷矢量相关；
• (T^{ij})：麦克斯韦应力张量，描述动量流。

经典守恒律为

[
\partial_\mu T^{\mu\nu}=0,
]

对空间积分后给出总能量和总动量守恒。

从经典场到量子场的基本替换

量子化的第一步是把规范场 (A_\mu(x)) 及其共轭动量 (\Pi^\mu(x)) 提升为算符。在库仑规范 (A^0=0,\ \nabla\cdot\mathbf{A}=0) 下，只有横向分量被量子化。等时对易关系为

[
[A_i(\mathbf{x},t),\Pi_j(\mathbf{y},t)]
=i\delta_{ij}^{\rm T}\delta^3(\mathbf{x}-\mathbf{y}),
]

其中 (\delta_{ij}^{\rm T}) 是横向投影。将场作模式展开：

[
\mathbf{A}(\mathbf{x},t)=
\sum_{\mathbf{k},\lambda}
\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{k}}V}}
\boldsymbol{\epsilon}{\mathbf{k}\lambda}
\left(
a{\mathbf{k}\lambda}e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}-\omega t)}
+a^\dagger_{\mathbf{k}\lambda}e^{-i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}-\omega t)}
\right).
]

产生、湮灭算符满足

[
[a_{\mathbf{k}\lambda},a^\dagger_{\mathbf{k}'\lambda'}]
=\delta_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}\delta_{\lambda\lambda'}.
]

这一步完成了从经典场振幅到量子算符的过渡。

经典张量的量子对应

将 (T^{\mu\nu}) 中的 (E)、(B) 替换为算符后，由于算符不对易，必须注意排序。通常采用正规序，使真空期望值为零。能量算符由 (T^{00}) 积分得到：

[
H=\int d^3x,T^{00}
=\sum_{\mathbf{k},\lambda}\omega_{\mathbf{k}}
\left(a^\dagger_{\mathbf{k}\lambda}a_{\mathbf{k}\lambda}+\frac12\right).
]

动量算符由 (T^{0i}) 积分得到：

[
\mathbf{P}=\int d^3x,\mathbf{T}^{0}
=\sum_{\mathbf{k},\lambda}\mathbf{k},
a^\dagger_{\mathbf{k}\lambda}a_{\mathbf{k}\lambda}.
]

若采用正规序，则

[
:H:=\sum_{\mathbf{k},\lambda}\omega_{\mathbf{k}}
a^\dagger_{\mathbf{k}\lambda}a_{\mathbf{k}\lambda},
]

零点能 (\sum \omega_{\mathbf{k}}/2) 被移除。但在卡西米尔效应等物理问题中，零点能不可忽略。

示例：单模光子态

考虑一个频率为 (\omega)、波矢为 (\mathbf{k}) 的单模。其粒子数态为 (|n\rangle)。则

[
H|n\rangle=\omega\left(n+\frac12\right)|n\rangle,
\qquad
\mathbf{P}|n\rangle=\mathbf{k}n|n\rangle.
]

若使用正规序哈密顿量，则

[
:H:|n\rangle=\omega n|n\rangle.
]

这说明量子化后的能量和动量以光子量子的形式出现：每个光子携带能量 (\omega) 和动量 (\mathbf{k})。经典张量的积分量，在量子理论中成为作用于福克空间上的算符。

守恒律的量子版本

经典守恒律 (\partial_\mu T^{\mu\nu}=0) 在量子理论中成为算符方程。对自由场，能量和动量算符与哈密顿量对易：

[
[H,H]=0,\qquad [H,\mathbf{P}]=0.
]

因此总能量和总动量守恒。海森堡方程给出

[
\frac{d}{dt}a_{\mathbf{k}\lambda}(t)
=i[H,a_{\mathbf{k}\lambda}(t)]
=-i\omega_{\mathbf{k}}a_{\mathbf{k}\lambda}(t),
]

其解为 (a_{\mathbf{k}\lambda}(t)=a_{\mathbf{k}\lambda}(0)e^{-i\omega_{\mathbf{k}}t})，与经典模式的时间演化一致。

注意事项与物理意义

从经典张量到量子算符并非简单替换，需注意以下几点：

• (T^{\mu\nu}) 不唯一，可加上形如 (\partial_\lambda X^{\lambda\mu\nu}) 的项，但积分守恒量不变；
• 规范固定会影响中间表达式，但物理可观测量应规范不变；
• 正规序可去除真空发散，但零点能的物理效应需单独处理；
• 相互作用场中 (T^{\mu\nu}) 需要重整化，并可能出现迹反常。

总之，经典能量-动量张量提供了能量、动量和应力的局域描述；量子化后，其积分量成为算符，其本征值对应光子数、能量和动量。这一过渡是理解量子电磁场、光子和卡西米尔效应等问题的关键桥梁。