屈服准则（Tresca 与 von Mises）

在固体力学中，材料的力学行为通常分为弹性阶段和塑性阶段。当材料承受的应力达到一定程度时，其变形将不再是可逆的，即进入了塑性变形阶段，这一临界点被称为“屈服点”。

在固体力学中，材料的力学行为通常分为弹性阶段和塑性阶段。当材料承受的应力达到一定程度时，其变形将不再是可逆的，即进入了塑性变形阶段，这一临界点被称为“屈服点”。

由于实际工程中材料往往处于复杂的三轴应力状态，我们无法简单地通过单一方向的应力值来判断材料是否屈服。因此，需要建立数学模型，将复杂的三维应力状态转化为一个标量值，并将其与材料的屈服强度进行比较。这就是“屈服准则”的核心任务。对于延性材料（如钢、铝等），最常用的两种准则分别是 Tresca 准则（最大剪应力准则）和 von Mises 准则（最大畸变能准则）。
Tresca 准则由法国工程师 Henri Tresca 提出。该准则的核心思想是：当材料内部所受到的最大剪应力达到材料在单轴拉伸试验下的剪切屈服强度时，材料发生塑性屈服。

1. 数学表达式

假设材料在三维空间中的主应力分别为 $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$，并按照大小顺序排列为 $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$。根据剪应力理论，最大剪应力 $\tau_{max}$ 的表达式为：

$$\tau_{max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$$

设材料在单轴拉伸试验下的屈服强度为 $\sigma_y$。在单轴拉伸时，最大剪应力为 $\sigma_y / 2$。因此，Tresca 准则的判别式可以写为：

$$\sigma_1 - \sigma_3 \ge \sigma_y$$

当等式成立时，材料开始发生屈服。

2. 特点与优缺点

  • 优点：计算过程相对简单，物理意义直观，易于在工程设计中进行手算。
  • 缺点：由于其判别边界在应力空间中是一个六角柱体，它在某些应力状态下会显得过于“保守”。这意味着它预测的屈服点往往早于实际发生的屈服点，在追求轻量化设计的现代工程中，这种保守性有时会导致材料利用率不足。

von Mises 屈服准则（最大畸变能准则）

von Mises 准则（也称为 Hencky 准则）是目前工程界应用最广泛的准则，尤其是在有限元分析（FEA）软件中。该准则认为：材料发生屈服的条件是材料内部的畸变能（Distortion Energy）达到了临界值。

在应力状态中，应变可以分解为体积应变（改变体积）和畸变应变（改变形状）。对于大多数金属材料，体积改变需要极大的能量，而塑性变形主要由畸变能驱动。

1. 数学表达式

使用主应力表示时，von Mises 准则的表达式为：

$$\sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]} = \sigma_y$$

或者利用应力张量的第二偏应力不变量 $J_2$ 来表示：

$$\sqrt{3J_2} = \sigma_y$$

其中，$J_2$ 是由偏应力张量计算得出的。

2. 特点与优缺点

  • 优点：在实验数据上，von Mises 准则与大多数延性金属的实际屈服行为吻合得更好。其在应力空间中的边界是一个平滑的圆柱体，能够更精确地描述材料的强度极限。
  • 缺点：数学表达比 Tresca 复杂，涉及平方项和根号运算，但在计算机辅助设计时代，这不再是问题。

Tresca 与 von Mises 的对比

为了直观理解两者的差异，我们可以从几何形状和应力状态两个维度进行对比。

1. 几何形状对比

如果在三维应力空间（$\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ 坐标系）中绘制屈服面：

  • Tresca 准则 表现为一个六角棱柱。
  • von Mises 准则 表现为一个圆柱体。

在应力空间中，Tresca 的六角柱体完全包裹在 von Mises 的圆柱体内。这意味着，在相同的应力条件下，Tresca 预测的屈服点总是比 von Mises 更早（或相等），这验证了 Tresca 准则的保守性。

2. 关键应力状态下的差异

我们可以通过一个典型的“纯剪切应力”状态来观察两者的区别。假设材料受到纯剪切应力 $\tau$，其主应力为 $\sigma_1 = \tau, \sigma_2 = 0, \sigma_3 = -\tau$。

  • 使用 Tresca 准则计算：
    $$\sigma_1 - \sigma_3 = \tau - (-\tau) = 2\tau = \sigma_y \implies \tau_{Tresca} = 0.5\sigma_y$$
  • 使用 von Mises 准则计算：
    $$\sqrt{\frac{1}{2} [(\tau-0)^2 + (0-(-\tau))^2 + (-\tau-\tau)^2]} = \sqrt{\frac{1}{2} [\tau^2 + \tau^2 + 4\tau^2]} = \sqrt{3\tau^2} = \sqrt{3}\tau = \sigma_y \implies \tau_{vonMises} = \frac{1}{\sqrt{3}}\sigma_y \approx 0.577\sigma_y$$

结论：在纯剪切状态下，von Mises 允许的剪切应力比 Tresca 高出约 $15.4%$。这说明如果使用 Tresca 准则进行设计，你会得到一个更厚、更重但更安全的零件；而使用 von Mises 准则，设计会更接近材料的真实极限。

总结与工程应用建议

在实际的技术实践中，选择哪种准则取决于应用场景的要求：

  1. 安全性优先（保守设计）：在航空航天、压力容器或涉及生命安全的结构设计中，如果计算资源有限或希望获得极高的安全裕度，Tresca 准则是一个稳妥的选择。
  2. 精度与轻量化优先：在汽车工业、精密机械设计以及使用有限元分析软件进行复杂结构优化时，von Mises 准则是标准做法，因为它能更准确地反映材料的承载能力，有助于减少材料浪费。
  3. 材料类型：上述两种准则均主要适用于延性材料。对于脆性材料（如铸铁），通常需要使用基于主应力的 Rankine 准则。