半无限大物体的非稳态导热模型

在热传导学中，半无限大物体（semi‑infinite solid）是指在一个方向上尺寸远大于热扩散深度，而在另一方向上具有明确边界的材料。该模型广泛用于分析瞬时加热、冷却以及材料表面热冲击等工程问题。下面系统阐述半无限大物体的非稳态（瞬态）导热模型，包括基本假设、数学描述、解析解的推导以及典型数值示例。

• 几何假设：物体在 $x\ge 0$ 区域为均匀、各向同性的半无限平板，厚度趋于无穷大，即 $x\rightarrow\infty$ 时温度不受表面扰动影响。
• 材料属性：热导率 $k$、密度 $\rho$、比热容 $c$ 为常数，故热扩散系数 $\alpha=\dfrac{k}{\rho c}$ 为常数。
• 初始条件：$t=0$ 时整个介质温度均为 $T_i$（常温）。
• 边界条件：
  1. 表面 $x=0$ 施加已知的温度变化 $T_s(t)$（如瞬时升温、阶跃升温或指定热流）。
  2. 无限远处 $x\rightarrow\infty$ 温度保持原始温度 $T_i$，即
     $$\lim_{x\to\infty}T(x,t)=T_i.$$

在上述假设下，热传导过程仅沿 $x$ 方向展开，可视为一维非稳态导热。

2. 控制方程与相似变量

2.1 热传导基本方程

对均匀各向同性材料，一维热传导的偏微分方程为

[
\frac{\partial T}{\partial t}= \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2},
\qquad 0<x<\infty,; t>0.
]

2.2 相似变量的引入

为将偏微分方程化为常微分方程，引入无量纲相似变量

[
\eta = \frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}.
]

设

[
\theta(\eta)=\frac{T(x,t)-T_i}{T_s-T_i},
]

则原方程化为

[
\frac{d^2\theta}{d\eta^2}+2\eta\frac{d\theta}{d\eta}=0,
]

其通解为误差函数（error function）形式

[
\theta(\eta)=\operatorname{erfc}(\eta)=1-\operatorname{erf}(\eta).
]

3. 典型边界条件下的解析解

3.1 表面温度阶跃（Dirichlet）

若在 $t=0$ 时表面温度瞬间升至 $T_s$，即

[
T(0,t)=T_s,\qquad t>0,
]

则温度分布为

[
\boxed{T(x,t)=T_i+(T_s-T_i),\operatorname{erfc}!\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}\right)}.
]

3.2 表面热流阶跃（Neumann）

若在 $x=0$ 施加恒定热通量 $q_0$，则

[
-k\frac{\partial T}{\partial x}\Big|_{x=0}=q_0,
]

对应解为

[
\boxed{T(x,t)=T_i+\frac{2q_0\sqrt{\alpha t}}{k\sqrt{\pi}},
\exp!\left(-\frac{x^{2}}{4\alpha t}\right)
-\frac{q_0 x}{k},\operatorname{erfc}!\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}\right)}.
]

3.3 任意表面温度 $T_s(t)$ 的卷积解

利用拉普拉斯变换或Duhamel原理，可得到通用卷积形式

[
T(x,t)=T_i+\int_{0}^{t}\frac{x}{2\sqrt{\pi\alpha (t-\tau)^{3}}}
\exp!\left(-\frac{x^{2}}{4\alpha (t-\tau)}\right),
\bigl[T_s(\tau)-T_i\bigr];d\tau .
]

该表达式适用于任意已知的表面温度历史 $T_s(t)$。

4. 示例计算

假设材料为铝合金，参数如下：

情景：表面在 $t=0$ 瞬间升温至 $T_s=200^\circ\text{C}$，初始温度 $T_i=20^\circ\text{C}$。求 $x=5\text{ mm}$ 处在 $t=10\text{ s}$ 时的温度。

计算步骤：

1. 计算相似变量
   [
   \eta=\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}=
   \frac{5\times10^{-3}}{2\sqrt{9.73\times10^{-5}\times10}}
   \approx 0.254.
   ]

2. 查表或使用计算器得到 $\operatorname{erfc}(0.254)\approx 0.718$。

3. 代入阶跃解
   [
   T(5\text{ mm},10\text{ s})=20+(200-20)\times0.718\approx 152.6^\circ\text{C}.
   ]

结果：在 10 s 后，距离表面 5 mm 处的温度约为 153 °C，说明热波已深入材料内部，但仍未达到稳态。

5. 数值实现要点

• 离散化：若需在复杂几何或非线性边界条件下求解，可采用显式/隐式有限差分（FTCS、Crank‑Nicolson）或有限元方法。
• 时间步长限制：显式格式需满足 $\Delta t \le \dfrac{\Delta x^{2}}{2\alpha}$ 的稳定条件。
• 误差函数的计算：在编程语言（Python、MATLAB、C++）中均提供 erf/erfc 库函数，避免自行数值积分。

示例（Python）：

import numpy as np
from scipy.special import erfc

k = 237.0
rho = 2700.0
c = 900.0
alpha = k / (rho * c)

def temperature(x, t, Ts=200.0, Ti=20.0):
    eta = x / (2.0 * np.sqrt(alpha * t))
    return Ti + (Ts - Ti) * erfc(eta)

x = 5e-3   # 5 mm
t = 10.0   # s
print(f"T({x*1e3:.1f} mm, {t}s) = {temperature(x, t):.2f} °C")

运行后即可得到与手算相同的结果。

6. 小结

• 半无限大物体的非稳态导热模型以一维热传导方程为核心，利用相似变量可将 PDE 转化为误差函数形式的解析解。
• 对于表面温度阶跃、热流阶跃以及任意时间历程的边界条件，都有对应的闭式解或卷积表达式，便于工程快速评估。
• 在实际工程中，常结合数值方法对复杂边界或材料非线性进行求解，关键在于保持时间步长的数值稳定性并正确调用误差函数。

掌握上述理论与实现技巧，可为热处理、焊接、激光加工以及电子器件散热等领域的瞬态热分析提供坚实的理论依据和实用工具。