光学成像中的共轭关系

在光学成像系统中，共轭关系指的是物面（或物点）与像面（或像点）之间的对应关系。若一组物点与像点满足光线通过系统后仍能保持空间几何对应，则称这两个平面（或点）为共轭平面（共轭点）。共轭关系是分析、设计和评价光学系统的核心工具，它直接决定了系统

在光学成像系统中，共轭关系指的是物面（或物点）与像面（或像点）之间的对应关系。若一组物点与像点满足光线通过系统后仍能保持空间几何对应，则称这两个平面（或点）为共轭平面（共轭点）。共轭关系是分析、设计和评价光学系统的核心工具，它直接决定了系统的放大倍率、分辨率以及视场范围。

定义：在理想的几何光学模型下，若从物平面出发的任意一条光线经光学系统后都能在像平面上相交于唯一的像点，则该物平面与像平面互为共轭。

共轭关系的本质是线性映射，在 paraxial（小角）近似下可用矩阵法（ABCD矩阵）简洁描述。

2. 几何光学中的共轭判据

对于单薄透镜（或等效薄透镜），共轭关系满足经典的透镜公式：

[
\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f}
]

满足该等式的任意 ((s, s')) 组合即构成一对共轭平面。

放大倍率 (M) 与共轭距离的关系为：

[
M = \frac{y'}{y} = -\frac{s'}{s}
]

其中 (y) 与 (y') 分别为物高与像高。负号表明像相对于物呈倒立。

在更一般的多元光学系统中，可使用 光线传输矩阵：

\begin{pmatrix}
A & B \ C & D
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
y \ \theta
\end{pmatrix}
]

若系统的 传递矩阵 为 (\begin{pmatrix}A&B\C&D\end{pmatrix})，则共轭平面满足：

[
B = 0 \quad \text{（物平面到像平面的光线传输不产生位移）}
]

此时，像距 (s' = -\dfrac{D}{C})，物距 (s = \dfrac{A}{C})，两者满足前述透镜公式的等价形式。

系统类型	典型共轭平面	关键参数	备注
单透镜成像	物平面 ↔ 像平面	焦距 (f)	只要满足 (\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{f})
双透镜放大系统（放大镜）	物平面 ↔ 第一次透镜后像平面 ↔ 第二次透镜前物平面 ↔ 最终像平面	两透镜焦距 (f_1, f_2) 与间距 (d)	通过复合矩阵实现多级共轭
反射式望远镜（Newtonian）	主镜焦点 ↔ 目镜焦点	主镜焦距 (F)、目镜焦距 (f)	目镜把主镜的像重新成像到目视平面
复合光学系统（相机镜头）	对象平面 ↔ 传感器平面	多组透镜的等效焦距、畸变校正	设计时常用共轭像场（image space）与共轭物场（object space）概念

注意：在上述系统中，只有在 paraxial 区域（光线倾角小于约 5°）内，线性共轭关系才保持良好。超出此范围会出现像差，导致共轭关系失真。

确定共轭平面位置
- 先依据系统功能（放大、缩小、投影）选定目标像距。
- 采用透镜公式或矩阵法反算物距，确保 (B=0) 条件成立。
控制放大倍率
- 通过调节物距/像距或改变透镜焦距实现所需倍率。
- 在多元系统中，可在每一级引入 中间共轭平面，便于模块化设计。
校正像差
- 采用非球面、复合透镜或光学玻璃的折射率差异来补偿球差、色差等，使实际像点仍紧贴理论共轭点。
光阑与共轭
- 光阑（光圈）通常放置在 共轭的后焦面，以控制光束的数值孔径（NA）和景深。
实验验证
- 使用 光学平台（光源、准直器、屏幕）测量实际像距，比较理论值与实验值的偏差。
- 若偏差超出容差，可通过微调透镜间距或更换光学元件重新建立共轭关系。

步骤：

选取物镜焦距 (f_{\text{obj}} = 4,\text{mm})，目镜焦距 (f_{\text{eye}} = 25,\text{mm})。
设物体位于物镜前的 (s = 5,\text{mm})。利用透镜公式求得物镜像距
[
\frac{1}{5} + \frac{1}{s'_1} = \frac{1}{4} ;\Rightarrow; s'_1 = 20,\text{mm}
]
物镜像位于其后焦点之外，形成实像，该实像作为目镜的物体。目镜的物距 (s_2 = f_{\text{eye}} + \Delta)，其中 (\Delta) 为两透镜间的机械间距（常取 5 mm）。
目镜像距 (s'_2) 通过同样公式计算，得到最终像位于观察者的视网膜（近视眼近焦平面），实现放大。

放大倍率：

[
M_{\text{total}} = -\frac{s'_1}{s}\times -\frac{s'_2}{s_2}
\approx \frac{20}{5}\times\frac{25}{5}=20
]

该示例展示了如何在 两级共轭（物镜→目镜）之间逐层建立对应关系，以实现预期的整体放大效果。

掌握共轭关系的判据与应用技巧，能够帮助工程师在 现代光学 的各类子领域（如激光系统、光纤耦合、红外成像等）中快速构建高性能的成像方案。