感应加热中的热传导与热扩散方程

在感应加热系统中，电磁场首先在工件表层感应出涡流，焦耳热作为体积热源注入材料。随后，热量通过热传导向内部传递，温度分布由热传导方程描述。由于该方程在数学形式上与扩散方程一致，因此也常称为热扩散方程。理解其形式、参数和边界条件，是预测加热速度、淬硬层深度和热应力的基础。
热传导遵循傅里叶定律：

$$
\mathbf{q} = -k \nabla T
$$

其中，$\mathbf{q}$ 为热流密度矢量，$k$ 为导热系数，$T$ 为温度。对微元体应用能量守恒，可得含内热源的热传导方程：

$$
\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = \nabla \cdot (k \nabla T) + Q
$$

式中，$\rho$ 为密度，$c_p$ 为定压比热容，$Q$ 为内热源体积功率密度。若材料各向同性且 $k$ 为常数，则：

$$
\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \nabla^2 T + \frac{Q}{\rho c_p}
$$

其中，$\alpha = k/(\rho c_p)$ 称为热扩散率。无内热源时，方程退化为：

$$
\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \nabla^2 T
$$

这正是典型的热扩散方程。

热扩散率的物理意义

热扩散率 $\alpha$ 的单位为 $\mathrm{m^2/s}$，表征材料在非稳态条件下温度趋于均匀的能力。热扩散时间可用下式估算：

$$
t_d \sim \frac{L^2}{\alpha}
$$

其中，$L$ 为特征尺寸。例如，钢的 $\alpha$ 约为 $4 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^2/s}$，1 mm 特征尺寸对应的热扩散时间约为 0.25 s；铜的 $\alpha$ 约为 $1.1 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2/s}$，同样尺寸仅需约 0.009 s。这说明铜中温度更易均匀，而钢中更容易形成较大的温度梯度。

在感应加热中，热源集中在表层，热扩散决定热量向内部推进的速度。若加热时间远小于 $t_d$，表层快速升温而内部仍接近冷态；若加热时间远大于 $t_d$，温度分布趋于均匀。

感应加热中的内热源

感应涡流的焦耳热可表示为：

$$
Q = \frac{|J|^2}{\sigma}
$$

其中，$J$ 为电流密度有效值，$\sigma$ 为电导率。若 $J$ 为幅值，则时均热源为：

$$
Q = \frac{|J|^2}{2\sigma}
$$

在谐波电磁场中，时均焦耳热也可写为：

$$
Q_{\mathrm{avg}} = \frac{1}{2}\