一维非稳态导热解析解：海斯勒图（Heisler Charts）

在工程热物理领域，非稳态导热（Transient Heat Conduction）问题的解析求解往往涉及复杂的无穷级数或积分变换，计算过程繁琐且难以直观理解物理过程。为了简化这一过程，美国学者 H.S. Heisler 于 1947 年提出

在工程热物理领域，非稳态导热（Transient Heat Conduction）问题的解析求解往往涉及复杂的无穷级数或积分变换，计算过程繁琐且难以直观理解物理过程。为了简化这一过程，美国学者 H.S. Heisler 于 1947 年提出了一套基于无量纲参数的图表法，即著名的海斯勒图（Heisler Charts）。该方法将无限长平板、无限长圆柱体和球体这三种典型几何形状的一维非稳态导热问题标准化，使得工程师无需进行复杂的数学推导，即可通过查图快速获得物体内部任意位置的温度分布及中心温度变化规律。

核心无量纲参数

海斯勒图的建立依赖于两个关键的无量纲参数，它们分别表征了材料的热扩散特性与对流换热强度之间的关系。

  1. 傅里叶数（Fourier Number, $Fo$）
    傅里叶数反映了非稳态导热过程中热量扩散的深度与时间尺度之间的关系。其定义为：
    $$ Fo = \frac{\alpha t}{L_c^2} $$
    其中，$\alpha$ 为热扩散率（$m^2/s$），$t$ 为时间（$s$），$L_c$ 为特征长度（对于平板为半厚度，对于圆柱和球为半径）。$Fo$ 值越大，表示热量在物体内部扩散得越充分，温度分布越趋于均匀。

  2. 毕渥数（Biot Number, $Bi$）
    毕渥数表征了物体内部导热热阻与表面对流换热热阻的相对大小。其定义为：
    $$ Bi = \frac{h L_c}{k} $$
    其中，$h$ 为对流换热系数（$W/(m^2 \cdot K)$），$k$ 为材料导热系数（$W/(m \cdot K)$）。

    • 当 $Bi < 0.1$ 时，内部导热热阻远小于表面换热热阻，物体内部温度近似均匀，可采用集总参数法（Lumped Capacitance Method）求解。
    • 当 $Bi \ge 0.1$ 时，内部温度梯度显著，必须使用海斯勒图或解析级数解。

海斯勒图的结构与解读

海斯勒图通常由两部分组成，分别用于确定中心温度比和任意位置温度比。

1. 中心温度比图

该图展示了物体中心点（$x=0$ 或 $r=0$）的无量纲温度随 $Fo$ 和 $1/Bi$ 的变化关系。

  • 横坐标：傅里叶数 $Fo$（通常取对数坐标）。
  • 纵坐标：中心温度比 $\theta^* = \frac{T(0,t) - T_\infty}{T_i - T_\infty}$。
  • 参数曲线：以 $1/Bi$ 为参数的族曲线。

使用步骤：

  1. 计算 $Bi$ 数并取倒数 $1/Bi$。
  2. 计算 $Fo$ 数。
  3. 在图中找到对应 $1/Bi$ 的曲线。
  4. 沿该曲线找到横坐标为 $Fo$ 的点，读取对应的纵坐标值，即为中心温度比。

2. 任意位置温度比图

该图展示了物体内部任意位置 $x$（或半径 $r$）的温度与中心温度之间的关系。

  • 横坐标：位置比 $x/L_c$（对于圆柱和球为 $r/R$）。
  • 纵坐标：位置温度比 $\frac{\theta(x,t)}{\theta(0,t)} = \frac{T(x,t) - T_\infty}{T(0,t) - T_\infty}$。
  • 参数曲线：同样以 $1/Bi$ 为参数。

使用步骤：

  1. 利用中心温度比图求得 $\theta(0,t)$。
  2. 确定目标位置 $x$ 或 $r$，计算位置比。
  3. 在任意位置温度比图中，找到对应 $1/Bi$ 的曲线。
  4. 读取该位置对应的比值。
  5. 最终温度 $T(x,t)$ 可通过下式计算：
    $$ T(x,t) = T_\infty + \theta^*_{center} \times \theta^*_{position} \times (T_i - T_\infty) $$

应用示例

假设一块厚度为 $2L = 0.1 m$ 的钢制平板，初始温度 $T_i = 200^\circ C$，突然浸入 $T_\infty = 20^\circ C$ 的冷却液中，对流换热系数 $h = 200 W/(m^2 \cdot K)$。已知钢材 $k = 50 W/(m \cdot K)$，$\alpha = 1.2 \times 10^{-5} m^2/s$。求 $t = 300 s$ 时平板中心的温度。

  1. 计算特征长度：$L_c = L = 0.05 m$。
  2. 计算毕渥数：
    $$ Bi = \frac{200 \times 0.05}{50} = 0.2 $$
    $$ 1/Bi = 5 $$
  3. 计算傅里叶数：
    $$ Fo = \frac{1.2 \times 10^{-5} \times 300}{0.05^2} = 1.44 $$
  4. 查图：
    在中心温度比图中，找到 $1/Bi = 5$ 的曲线，在横坐标 $Fo = 1.44$ 处读取纵坐标值。假设读得 $\theta^*_{center} \approx 0.65$。
  5. 计算温度：
    $$ T(0,t) = 20 + 0.65 \times (200 - 20) = 20 + 117 = 137^\circ C $$

注意事项与局限性

  • 适用范围：海斯勒图仅适用于一维、常物性、无内热源且边界条件为对流的非稳态导热问题。
  • 精度问题：图表读取存在视觉误差，通常误差在 1%-3% 之间。对于高精度需求，建议结合解析级数解或使用数值模拟软件（如 COMSOL、ANSYS）。
  • 多面体扩展：对于三维物体（如长方体），可利用“乘积解法”（Product Solution），将三维问题分解为三个一维问题的乘积，分别查图后相乘得到结果。

海斯勒图作为经典的热传导工具，不仅具有历史意义，在现代工程初步估算和教学演示中仍具有不可替代的直观价值。