单缝衍射与圆孔衍射现象

光的波动性在微观尺度上表现为衍射现象。单缝衍射和圆孔（圆形孔径）衍射是最典型、最易实验验证的两类衍射，它们分别对应一维和二维的空间约束。掌握这两种衍射的理论与实验方法，是深入理解光学分辨率、成像系统以及现代光子学器件（如光阑、光学传感器）的基础。

2. 单缝衍射的基本原理

2.1 菲涅尔-惠更斯原理

• 每一点光源都可以看作次级球面波的发射点。
• 次级波在空间中叠加形成观察点的振幅。

在远场（弗朗霍夫）条件下，单缝宽度 (a) 与观察屏距离 (L) 满足

[
L \gg \frac{a^{2}}{\lambda}
]

时，衍射图样可用简化的傅里叶积分描述。

2.2 单缝衍射强度分布

对称单缝的衍射强度 (I(\theta))（(\theta) 为观察方向相对中心轴的角度）为

[
I(\theta)=I_{0}\left[\frac{\sin(\beta)}{\beta}\right]^{2},\qquad
\beta=\frac{\pi a \sin\theta}{\lambda}
]

• 主极大位于 (\theta=0)。
• 第 (m) 条暗纹满足 (\beta=m\pi)，即

[
a\sin\theta_{m}=m\lambda \quad (m= \pm1,\pm2,\dots)
]

• 第一次暗纹的角宽约为 (\theta_{1}\approx \lambda/a)。

2.3 影响因素

3. 单缝衍射实验示例

1. 实验装置

   • 激光二极管（波长 632.8 nm）
   • 可调单缝光阑（宽度 0.05 mm–0.5 mm）
   • 透镜（焦距 200 mm）形成远场
   • CCD 摄像头记录衍射图样

2. 步骤

   • 将激光束准直后通过单缝光阑。
   • 调整透镜，使光束在 CCD 平面形成弗朗霍夫衍射。
   • 记录不同缝宽下的强度分布，使用软件提取 (\sin\theta) 与强度关系。

3. 数据处理

   • 将实验得到的暗纹位置 (y_{m}) 与理论公式

     [
     y_{m}=L\tan\theta_{m}\approx L\frac{m\lambda}{a}
     ]

     进行对比，验证线性关系。

4. 圆孔衍射的理论框架

4.1 圆孔的傅里叶变换

圆形孔径的透光函数在平面上为单位圆，其傅里叶变换为第一类贝塞尔函数 (J_{1})。因此，远场强度分布为

[
I(\rho)=I_{0}\left[ \frac{2J_{1}(k a \sin\theta)}{k a \sin\theta} \right]^{2},
\qquad k=\frac{2\pi}{\lambda}
]

其中 (\rho = k a \sin\theta) 为归一化径向坐标。

4.2 艾里斑（Airy Disk）

• 主极大（第一亮环）位于 (\rho \approx 3.8317)，对应

  [
  a\sin\theta_{1}=1.22,\lambda
  ]

• 第一次暗环（第一零点）位于 (\rho \approx 5.1356)。

• 圆孔衍射的半角分辨极限（瑞利判据）为

  [
  \theta_{\text{R}} \approx 1.22\frac{\lambda}{D},
  ]

  其中 (D=2a) 为孔径直径。

4.3 参数影响

5. 圆孔衍射实验与数值模拟

5.1 实验装置

• He‑Ne 激光（632.8 nm）
• 金属薄膜上钻孔（直径 0.1 mm、0.2 mm）
• 远场屏幕（距离 1 m）
• 光功率计或 CCD 记录强度分布

5.2 实验步骤

1. 对准激光束，使其垂直入射圆孔。
2. 在屏幕上观察中心亮斑及同心暗环。
3. 用标尺测量第一暗环半径 (r_{1})，计算对应角度 (\theta_{1}= \arctan(r_{1}/L))。
4. 与理论 (\theta_{1}=1.22\lambda/D) 对比，评估误差来源（孔径加工误差、波前畸变等）。

5.3 数值模拟（MATLAB / Python）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import j1

lam = 632.8e-9          # 波长 (m)
D   = 0.2e-3            # 孔径 (m)
k   = 2*np.pi/lam
r   = np.linspace(0, 5e-3, 1000)   # 屏幕半径 (m)
theta = np.arctan(r/1.0)           # 远场角度，L=1m

beta = k*D/2*np.sin(theta)
I = (2*j1(beta)/beta)**2
I /= I.max()

plt.plot(r*1e3, I)
plt.xlabel('屏幕半径 (mm)')
plt.ylabel('相对强度')
plt.title('圆孔衍射 (Airy 图样)')
plt.grid(True)
plt.show()

该脚本直接给出艾里斑的径向强度分布，可用于与实验数据进行定量比较。

6. 实际应用

• 光学仪器的分辨率：显微镜、望远镜的孔径设计依据瑞利判据，以确保目标细节能够在艾里斑之外被分辨。
• 光阑与光束整形：单缝衍射用于调节激光束的横向模式，常见于光刻系统的光阑设计。
• 光学传感：利用衍射图样对微小位移或折射率变化进行灵敏检测，如光学编码器、干涉式位移传感器。
• 光子学计算：在全光信息处理和光学神经网络中，衍射层（单缝或圆孔阵列）实现空间频域的卷积运算。

7. 小结

单缝衍射和圆孔衍射分别提供了一维和二维空间约束下的波前展开模型。单缝衍射的 (\sin(x)/x) 形强度分布揭示了缝宽、波长对衍射角的直接关系；圆孔衍射的贝塞尔函数形式则产生了艾里斑，决定了光学系统的分辨极限。通过实验验证与数值模拟，可深入理解这些理论，并将其应用于光学仪器设计、光束整形以及光子信息处理等前沿领域。掌握衍射的基本规律，是进一步探索光学超分辨、光学微结构制造以及量子光学实验的必备基石。