薛定谔方程描述粒子运动

在经典力学中，粒子的运动由牛顿第二定律决定：给定初始位置与速度，轨迹便唯一确定。然而当尺度缩小到原子、电子层面，经典图像不再适用，粒子呈现出明显的波动性。描述微观粒子运动的核心工具，就是薛定谔方程——量子力学的基本动力学方程。它给出的不是粒子的确定轨迹，而是粒子量子态随时间的演化规律。
德布罗意提出物质波假说：能量为 E、动量为 p 的粒子对应一个波，且满足 E = ℏω、p = ℏk。既然粒子具有波动性，就需要一个波函数 ψ(r, t) 来刻画其状态。与经典力学用位置和速度描述状态不同，量子力学用波函数描述状态；而波函数如何随时间变化，正是薛定谔方程要回答的问题。

含时薛定谔方程

对于质量为 m、处于势场 V(r, t) 中的单个粒子，含时薛定谔方程为：

iℏ ∂ψ/∂t = [ −ℏ²/(2m) ∇² + V(r, t) ] ψ

其中 ℏ 为约化普朗克常数，∇² 为拉普拉斯算符，方括号内的算符称为哈密顿算符 Ĥ。该方程与牛顿方程有几点本质区别：

• 牛顿方程描述实函数 r(t)，需要初始位置和速度两个条件；薛定谔方程描述复函数 ψ，需要整个初始波函数 ψ(r, 0)。
• 方程对 ψ 是线性的，因此波函数满足叠加原理。
• 方程含虚数单位 i，其解一般带有振荡相位因子，这正是“物质波”的数学体现。

最简单的解是自由粒子（V = 0）的平面波 ψ = exp[i(k·r − ωt)]，代入方程可得 ℏω = ℏ²k²/(2m)，即 E = p²/(2m)，与德布罗意关系自洽。

波函数的统计诠释

波函数本身是复数，不能直接测量。玻恩提出统计诠释：|ψ(r, t)|² 是概率密度，|ψ(r, t)|²d³r 表示 t 时刻在 r 附近体积元内找到该粒子的概率，且波函数须满足归一化条件 ∫|ψ|²d³r = 1。由此，力学量的平均值均可由 ψ 计算，例如位置期望值 ⟨r⟩ = ∫r|ψ|²d³r。粒子的“运动”因此表现为概率云的演化与扩散。

定态与能量本征值问题

当势场不显含时间时，可用分离变量法设 ψ(r, t) = φ(r)e^(−iEt/ℏ)，代入后得到不含时薛定谔方程：

Ĥφ(r) = Eφ(r)

这是一个本征值问题：只有特定的能量 E 才能使方程存在物理上可接受的解。处于这类状态（定态）时，概率密度不随时间变化。能量只能取分立值（能级），正是原子光谱等量子现象的根源。

示例：一维无限深势阱

考虑被限制在 0 < x < L 内的电子，阱外势能为无穷大。求解定态方程并要求阱外波函数为零，可得：

• 波函数：ψ_n(x) = √(2/L