应变张量的定义与物理意义
在固体力学中，研究物体在外力作用下如何变形是核心课题。应变（Strain）是对物体变形程度的量化描述。由于变形在三维空间中具有方向性，简单的标量无法完整描述其状态，因此需要引入**应变张量（Strain Tensor）**这一二阶张量来刻画。
当一个连续体受到外力作用时，其内部任意一点的位置会发生改变。设物体在初始状态（参考构型）下的坐标为 $X_i$，在变形后的状态（现时构型）下的坐标为 $x_i$。两者的差值定义为位移向量 $u_i$：
$$u_i = x_i - X_i \quad (i=1, 2, 3)$$
然而，位移本身并不代表“变形”。例如，一个物体的整体平移或刚体旋转虽然改变了点的位置，但并没有改变物体内部的相对距离或夹角。为了剔除刚体运动，提取纯粹的变形量，我们需要研究位移在空间上的变化率，即位移梯度张量 $\frac{\partial u_i}{\partial X_j}$。
小应变张量的定义
在大多数工程实际问题中（如建筑结构、机械零件），物体的变形非常微小。在这种“小变形”假设下，我们可以忽略高阶项，定义无穷小应变张量（Infinitesimal Strain Tensor） $\varepsilon_{ij}$。
位移梯度张量可以分解为对称部分和反对称部分：
$$\frac{\partial u_i}{\partial x_j} = \underbrace{\frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)}{\text{对称部分 (应变)}} + \underbrace{\frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} - \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)}{\text{反对称部分 (旋转)}}$$
其中，对称部分即为应变张量 $\varepsilon_{ij}$：
$$\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)$$
该张量由 9 个分量组成，但由于其对称性（$\varepsilon_{ij} = \varepsilon_{ji}$），独立分量仅有 6 个。
应变张量的物理意义
应变张量的不同分量分别对应于物体在空间中不同形式的几何改变。
1. 正应变（Normal Strain）
应变张量的对角线元素 $\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33}$（通常记作 $\varepsilon_x, \varepsilon_y, \varepsilon_z$）称为正应变。
- 物理意义：表示物体在坐标轴方向上的单位长度的伸长或缩短量。
- 计算公式：$\varepsilon_{11} = \frac{\partial u_1}{\partial x_1}$。
- 正负号：若 $\varepsilon_{ii} > 0$，表示该方向发生拉伸；若 $\varepsilon_{ii} < 0$，表示发生压缩。
2. 剪应变（Shear Strain）
应变张量的非对角线元素 $\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31}$ 称为剪应变分量。
- 物理意义：表示原本相互垂直的两条直线在变形后夹角的变化量。
- 工程剪应变：在工程实践中，习惯上使用工程剪应变 $\gamma_{ij}$，其定义为 $\gamma_{ij} = 2\varepsilon_{ij}$。
- 几何解释：例如 $\varepsilon_{12}$ 描述了 $x$ 轴和 $y$ 轴之间夹角 $\pi/2$ 的改变量的一半。
示例分析：简单的二维变形
为了直观理解，考虑一个在 $xy$ 平面内的矩形单元，其位移场为：
$$u_x = 0.01x, \quad u_y = 0.02y$$
根据定义计算应变分量：
- $\varepsilon_{xx} = \frac{\partial u_x}{\partial x} = 0.01$（$x$ 方向拉伸 1%）
- $\varepsilon_{yy} = \frac{\partial u_y}{\partial y} = 0.02$（$y$ 方向拉伸 2%）
- $\varepsilon_{xy} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_x}{\partial y} + \frac{\partial u_y}{\partial x} \right) = \frac{1}{2}(0 + 0) = 0$（无剪切变形）
如果位移场变为 $u_x = 0.01y, u_y = 0$，则：
- $\varepsilon_{xx} = 0, \varepsilon_{yy} = 0$
- $\varepsilon_{xy} = \frac{1}{2} (0.01 + 0) = 0.005$
此时，矩形单元变成了平行四边形，发生了剪切变形。
应变张量的重要特性
- 坐标不变性：应变张量是一个真正的张量，这意味着无论选择什么样的坐标系，其物理本质（如主应变）保持不变。
- 体积改变与迹：应变张量的迹（Trace）$\text{tr}(\varepsilon) = \varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33}$ 具有特殊的物理意义，它代表了物体在小变形情况下的体积应变（体积相对变化量 $\Delta V/V$）。
- 主应变（Principal Strains）：通过对应变张量进行特征值分解，可以找到一个特殊的坐标系，在该坐标系下剪应变为零，对角线上的元素称为主应变 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$。这有助于分析材料在哪个方向受到的变形最剧烈。
总结
应变张量是连接几何变形与材料力学响应的桥梁。它通过位移梯度的对称部分，有效地剔除了刚体旋转，量化了物体的拉伸、压缩和剪切状态。理解应变张量的定义及其物理意义，是进一步研究本构关系（如胡克定律 $\sigma = C\varepsilon$）以及分析复杂结构失效的基础。