小变形假设下的几何方程
在固体力学的理论体系中，几何方程（亦称位移-应变关系）是把材料的位移场与应变场联系起来的桥梁。
在实际工程问题中，大多数结构的变形幅度远小于其几何尺寸，此时可以采用小变形（小应变）假设，从而将几何方程线性化，极大简化分析过程。本文系统阐述小变形假设下的几何方程推导、基本形式及典型应用示例，帮助读者快速掌握该理论的核心要点。
小变形假设的基本假设
在使用小变形几何方程时，需要满足以下前提条件：
- 位移幅度：相对于特征长度，位移 (u_i) 满足 (|u_i| \ll L)。
- 位移梯度：位移梯度 (\partial u_i/\partial x_j) 为数量级极小的量，满足 (|\partial u_i/\partial x_j| \ll 1)。
- 几何非线性忽略：二阶及更高阶的位移梯度乘积（如 (\partial u_i/\partial x_j \cdot \partial u_k/\partial x_l)）在推导中被舍去。
- 材料连续性：材料在分析范围内保持连续、均匀，无裂纹或宏观缺陷。
满足上述条件后，几何方程可以采用线性形式，即小应变假设。
位移-应变关系（几何方程）
1. 位移梯度张量
设材料点的原始坐标为 (\mathbf{X}=(X_1,X_2,X_3))，变形后坐标为 (\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3))。位移向量定义为
[
\mathbf{u} = \mathbf{x} - \mathbf{X}, \qquad u_i = x_i - X_i .
]
位移梯度张量为
[
\frac{\partial u_i}{\partial X_j} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} - \delta_{ij},
]
其中 (\delta_{ij}) 为克罗内克符号。
2. 小应变张量
在小变形假设下，线性应变张量（亦称小应变张量）定义为位移梯度的对称部分：
[
\varepsilon_{ij}= \frac12\left(\frac{\partial u_i}{\partial X_j}+\frac{\partial u_j}{\partial X_i}\right), \qquad i,j=1,2,3.
]
该式即为几何方程的核心——它把位移的空间梯度映射为应变。由于已忽略二阶项，(\varepsilon_{ij}) 只包含一次导数，故为线性关系。
3. 矩阵形式
在工程实践中，常使用张量的向量化形式（Voigt 表示）：
[
\begin{bmatrix}
\varepsilon_{xx}\ \varepsilon_{yy}\ \varepsilon_{zz}\
\gamma_{xy}\ \gamma_{yz}\ \gamma_{zx}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} \[6pt]
\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y} \[6pt]
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial z} \[6pt]
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x} \[6pt]
\displaystyle \frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y} \[6pt]
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z}
\end{bmatrix},
]
其中 (\gamma_{ij}=2\varepsilon_{ij}) 为工程剪切应变。
小应变张量的表达与兼容条件
1. 兼容方程
位移场必须是连续且可微的，这对应变场提出了兼容条件。在三维情形下，兼容方程可写为：
[
\frac{\partial^2 \varepsilon_{ij}}{\partial X_k \partial X_l}
- \frac{\partial^2 \varepsilon_{kl}}{\partial X_i \partial X_j}
- \frac{\partial^2 \varepsilon_{ik}}{\partial X_j \partial X_l}
- \frac{\partial^2 \varepsilon_{jl}}{\partial X_i \partial X_k}=0,
\qquad i,j,k,l=1,2,3.
]
在平面应变（或平面应力）情形下，上式简化为两条独立的兼容方程：
[
\frac{\partial^2 \varepsilon_{xx}}{\partial y^2}
+\frac{\partial^2 \varepsilon_{yy}}{\partial x^2}
-2\frac{\partial^2 \varepsilon_{xy}}{\partial x \partial y}=0,
]
[
\frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial x^2}
+\frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial y^2}
-2\left(\frac{\partial^2 \varepsilon_{xx}}{\partial x \partial y}
+\frac{\partial^2 \varepsilon_{yy}}{\partial x \partial y}\right)=0.
]
兼容方程保证了给定的应变场必然对应某个连续位移场。
2. 小变形下的体积变化
体积应变（相对体积变化率）在小变形假设下为应变张量的迹：
[
\Delta V / V \approx \varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}= \operatorname{tr}(\boldsymbol{\varepsilon}).
]
这在求解热膨胀或压缩问题时尤为重要。
示例
示例 1：一维拉伸
考虑一根长度为 (L) 的均匀杆，仅在 (x) 方向受轴向拉力 (P)。位移仅沿 (x) 方向，记为 (u(x))。
- 位移梯度：(\displaystyle \frac{du}{dx})。
- 小应变：(\displaystyle \varepsilon_{xx}= \frac{du}{dx})。
若材料满足胡克定律 (\sigma = E\varepsilon)，且截面面积恒定 (A)，则平衡方程给出
[
\frac{d\sigma}{dx}=0 ;\Rightarrow; \sigma = \frac{P}{A}= \text{常数}.
]
于是
[
\varepsilon_{xx}= \frac{\sigma}{E}= \frac{P}{AE}= \text{常数},
\qquad
u(x)=\varepsilon_{xx},x + C.
]
若左端固定（(u(0)=0)），则常数 (C=0)，得到位移分布
[
u(x)=\frac{P}{AE},x.
]
该例子直接展示了小变形几何方程的线性特性。
示例 2：平面应变的矩形板受均匀剪切
设矩形板宽 (b)，高 (h)，在上下边界分别施加剪切位移 (\pm \delta)。假设变形满足平面应变，位移场可取线性形式：
[
u(x,y)=\gamma,y,\qquad v(x,y)=0,
]
其中 (\gamma) 为剪切应变。
- 位移梯度：(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}= \gamma,; \frac{\partial v}{\partial x}=0)。
- 小应变张量：
[
\varepsilon_{xx}=0,\quad
\varepsilon_{yy}=0,\quad
\gamma_{xy}=2\varepsilon_{xy}=2\left(\frac12\gamma\right)=\gamma.
]
若材料为线弹性，剪切应力 (\tau = G\gamma)。
边界条件 (\delta = \gamma,h/2)（上边界位移为 (\delta)），则
[
\gamma = \frac{2\delta}{h},\qquad
\tau = G\frac{2\delta}{h}.
]
该例说明在小变形假设下，剪切变形的几何方程仍保持线性，便于直接求解位移与应力。
小结
- 小变形假设把几何方程线性化，使位移梯度的对称部分即为小应变张量 (\varepsilon_{ij})。
- 该线性关系在工程实践中极为常用，配合本构关系（如胡克定律）即可构成完整的弹性分析模型。
- 兼容方程确保应变场能够对应真实的位移场，是求解边值问题时不可忽视的约束。
- 通过一维拉伸和二维剪切的典型示例，可以直观感受到小变形几何方程的简洁与实用性。
掌握上述几何方程的推导与应用，是进一步学习更高阶非线性固体力学、有限元分析以及复杂材料行为的基础。