在固体力学中，应变张量是描述材料内部形变的基本量。它不仅包含了各向拉伸或压缩的信息，还反映了剪切变形的特征。一个重要且常被忽视的性质是：应变张量是对称的，即 (\varepsilon_{ij}=\varepsilon_{ji})。对称性直接来源于位移场的连续性与几何意义，对后续的本构关系、能量表达式以及数值实现都有关键影响。本文将从位移梯度出发，给出应变张量对称性的严谨证明，并通过一个简单的拉伸例子加深理解。

应变张量的定义

设三维连续体的质点在参考配置 (\mathbf{X}) 处的位移为 (\mathbf{u}(\mathbf{X}))，则位移梯度为

[
\mathbf{H}= \nabla_{!X}\mathbf{u}
\qquad
H_{ij}= \frac{\partial u_i}{\partial X_j}.
]

小变形假设下，线性应变张量定义为位移梯度的对称部分：

[
\varepsilon_{ij}= \frac12\left(H_{ij}+H_{ji}\right)
= \frac12\left(\frac{\partial u_i}{\partial X_j}
+\frac{\partial u_j}{\partial X_i}\right).
]

该定义本身已经暗示了对称性，但我们仍需从更基本的几何关系出发，证明 (\varepsilon_{ij}=\varepsilon_{ji}) 并非人为设定，而是必然成立。

对称性的物理意义

1. 能量守恒：在弹性体中，内能密度 (\psi) 必须是 (\varepsilon_{ij}) 的标量函数。若 (\varepsilon_{ij}) 含有反对称分量，则会出现与转动无关的能量贡献，违背刚体转动不产生应变的物理事实。
2. 刚体运动：刚体的位移可以分解为平移 (\mathbf{a}) 与旋转 (\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{X})。旋转对应的位移梯度为 (\Omega_{ij}= -\Omega_{ji})，其对称部分为零，说明刚体转动不产生应变。
3. 本构关系：线弹性本构律 (\sigma_{ij}=C_{ijkl}\varepsilon_{kl}) 中，弹性张量 (C_{ijkl}) 具有多重对称性，若 (\varepsilon_{kl}) 本身不对称，则本构方程无法保持能量正定性。

对称性证明

1. 位移场的连续可微性

假设位移场 (\mathbf{u}(\mathbf{X})) 在整个体内连续且二阶可微，则混合偏导满足克拉托夫斯基定理（Schwarz 定理）：

[
\frac{\partial^2 u_i}{\partial X_j \partial X_k}

\frac{\partial^2 u_i}{\partial X_k \partial X_j}.
]

2. 线段长度的几何变化

取参考配置中相邻两点 (\mathbf{X}) 与 (\mathbf{X}+d\mathbf{X})，其原始距离为

[
ds_0^2 = \delta_{ij},dX_i dX_j.
]

变形后，两点的位移分别为 (\mathbf{u}(\mathbf{X})) 与 (\mathbf{u}(\mathbf{X}+d\mathbf{X}))，其相对位移可写成

[
du_i = u_i(\mathbf{X}+d\mathbf{X})-u_i(\mathbf{X})
= \frac{\partial u_i}{\partial X_j},dX_j + o(|d\mathbf{X}|).
]

于是变形后的线段长度平方为

[
\begin{aligned}
ds^2 &= \delta_{ij},(dX_i+du_i)(dX_j+du_j) \
&= ds_0^2 + 2,\varepsilon_{ij},dX_i dX_j + o(|d\mathbf{X}|^2),
\end{aligned}
]

其中

[
\varepsilon_{ij}= \frac12\left(\frac{\partial u_i}{\partial X_j}
+\frac{\partial u_j}{\partial X_i}\right).
]

3. 对称性的直接推导

对上式中的 (\varepsilon_{ij}) 交换指标 (i) 与 (j)：

[
\varepsilon_{ji}= \frac12\left(\frac{\partial u_j}{\partial X_i}
+\frac{\partial u_i}{\partial X_j}\right)
= \varepsilon_{ij}.
]

这里没有使用任何额外假设，仅依赖于偏导的交换律。因此，线性应变张量必然是对称的。

4. 与刚体旋转的对应关系

若位移仅为刚体旋转 (\mathbf{u}= \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{X})，则

[
\frac{\partial u_i}{\partial X_j}= \epsilon_{ijk},\omega_k,
]

其中 (\epsilon_{ijk}) 为 Levi‑Civita 符号，显然 (\epsilon_{ijk}=-\epsilon_{jik})。于是

[
\varepsilon_{ij}= \frac12(\epsilon_{ijk}+\epsilon_{jik})\omega_k =0,
]

再次验证对称部分为零，说明刚体转动不产生应变。

示例：一维拉伸的应变张量

考虑一根长度为 (L) 的细杆，仅在 (x) 方向受均匀拉伸，位移场为

[
u_1(x)=\alpha x,\qquad u_2=u_3=0,
]

其中 (\alpha) 为拉伸比例。计算位移梯度：

[
H_{ij}= \begin{bmatrix}
\alpha & 0 & 0\
0 & 0 & 0\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
]

线性应变张量为

[
\varepsilon_{ij}= \frac12(H_{ij}+H_{ji})=
\begin{bmatrix}
\alpha & 0 & 0\
0 & 0 & 0\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix},
]

显然 (\varepsilon_{ij}=\varepsilon_{ji})。若在同一变形中加入一个小的刚体旋转 (\boldsymbol{\omega}=(0,0,\omega))，则位移梯度会出现反对称分量 (\epsilon_{ijk}\omega_k)，但对称化后仍得到上式，说明旋转不影响应变张量的对称部分。

小结

• 应变张量的定义本身即为位移梯度的对称部分。
• 通过 克拉托夫斯基定理（混合偏导可交换）可以严格证明 (\varepsilon_{ij}=\varepsilon_{ji})。
• 对称性保证了 刚体转动不产生应变，并使弹性本构关系满足能量正定性。
• 实际工程计算中，只需取位移梯度的对称部分即可得到物理上正确的应变张量。

掌握应变张量的对称性不仅是理论推导的基础，也是数值实现（如有限元）和实验测量解释的关键。希望本文的证明与示例能帮助读者在后续的固体力学学习与研究中，准确、严谨地使用应变张量。