应力张量的对称性证明

在连续介质力学中，应力张量是描述内部力分布的基本量。它不仅决定了材料在外力作用下的变形与破坏模式，还在本构关系、能量守恒等理论中占据核心位置。一个重要且常被强调的性质是 应力张量的对称性，即
[
\sigma_{ij}=\sigma_{ji}\qquad (i,j=1,2,3)
]
本文将从平衡方程和能量原理两条基本路径出发，给出严格的对称性证明，并通过简化的实例加深理解。

应力张量的定义

在任意体元 (dV) 内，设法向外的单位法向量为 (\mathbf{n})。该面上单位面积所受的内力记为 (\mathbf{t}(\mathbf{n}))，称为面力。根据 Cauchy 定理，面力可以线性表示为
[
\mathbf{t}(\mathbf{n}) = \boldsymbol{\sigma},\mathbf{n},
]
其中 (\boldsymbol{\sigma}) 为 应力张量，其分量记作 (\sigma_{ij})（第 (i) 行第 (j) 列），满足
[
t_i = \sigma_{ij} n_j .
]

对称性的物理意义

对称性 (\sigma_{ij}=\sigma_{ji}) 表明 剪切应力 在同一平面上作用于相邻两个方向时是相等的。例如，在 (x!-!y) 平面上，( \sigma_{xy}) 表示作用于垂直于 (y) 方向的面上的 (x) 方向剪切力，而 (\sigma_{yx}) 则是作用于垂直于 (x) 方向的面上的 (y) 方向剪切力。若两者不相等，则会产生 自转矩，违背静力平衡。

对称性证明

1. 基于局部平衡方程的证明

考虑一个无限小体元（立方体），其六个面分别记为 (\pm x,\pm y,\pm z)。对该体元进行 转动平衡（即净力矩为零）的分析。

• 关于 (z) 轴的转动平衡
  取体元绕 (z) 轴的转动平衡，记体元边长为 (\Delta x,\Delta y,\Delta z)。在 (x) 面（法向为 (\mathbf{e}x)）上，剪切力为 (\sigma{xy}\Delta y\Delta z)（沿 (y) 方向），在相邻的 (y) 面（法向为 (\mathbf{e}y)）上，剪切力为 (\sigma{yx}\Delta x\Delta z)（沿 (x) 方向）。两者产生的转矩分别为
  [
  M_z^{(x)} = \sigma_{xy}\Delta y\Delta z;\frac{\Delta x}{2},\qquad
  M_z^{(y)} = -\sigma_{yx}\Delta x\Delta z;\frac{\Delta y}{2}.
  ]
  令净转矩为零并除以 (\frac{1}{2}\Delta x\Delta y\Delta z)，得到
  [
  \sigma_{xy} = \sigma_{yx}.
  ]

• 关于 (x) 与 (y) 轴的类似推导
  同理可得 (\sigma_{xz}=\sigma_{zx}) 与 (\sigma_{yz}=\sigma_{zy})。

综上，局部转动平衡直接推出应力张量的对称性。

2. 基于能量原理的证明

在弹性体中，应变能密度 (w) 为
[
w = \frac{1}{2},\sigma_{ij},\varepsilon_{ij},
]
其中 (\varepsilon_{ij}) 为线性应变张量，满足 (\varepsilon_{ij}=\varepsilon_{ji})。对 (w) 求偏导得到
[
\frac{\partial w}{\partial \varepsilon_{ij}} = \sigma_{ij}.
]

因为 (\varepsilon_{ij}=\varepsilon_{ji})，对同一对指标的偏导必须相等，即
[
\frac{\partial w}{\partial \varepsilon_{ij}} = \frac{\partial w}{\partial \varepsilon_{ji}}
;\Longrightarrow;
\sigma_{ij} = \sigma_{ji}.
]

该推导不依赖于材料的具体本构关系，只要应变能是标量且对称的，即可得到应力张量的对称性。

示例：简支梁的剪切应力

考虑一根长度为 (L) 的简支梁，受均布载荷 (q)。在梁的横截面上，剪切力 (V(x)=\frac{qL}{2}-qx)。取截面中心的局部坐标系，剪切应力分布为
[
\sigma_{xy}(y,z) = \frac{V(x)}{I},z,
]
其中 (I) 为截面二次矩，(z) 为相对于中性轴的垂直坐标。

• 对称性检查
  对于同一截面，(\sigma_{yx}) 代表沿 (x) 方向的剪切力在垂直于 (x) 的面上产生的应力。根据平衡与能量原理，可直接得到 (\sigma_{yx}=\sigma_{xy})。若在数值计算中出现 (\sigma_{yx}\neq\sigma_{xy})，则说明离散化或边界条件处理有误。

该例子说明，在实际工程计算中，保持应力张量的对称性是检验模型正确性的有效手段。

小结

• 应力张量 (\boldsymbol{\sigma}) 通过 Cauchy 定理把面力与法向联系起来，是连续介质力学的核心量。
• 对称性 (\sigma_{ij}=\sigma_{ji}) 来源于 局部转动平衡 与 能量标量性 两条基本原理。
• 通过对无限小体元的转矩分析，可得到直接且直观的代数关系；而能量原理则提供了更一般的、与材料本构无关的证明。
• 在数值模拟、实验测量以及工程设计中，检验应力张量的对称性是保证结果物理合理性的必要步骤。

掌握上述证明思路，不仅有助于深化对固体力学基本假设的理解，也为后续学习本构模型、弹塑性理论以及有限元实现奠定坚实基础。